A C. 1379. feladat (2016. november)

C. 1379. Egy húrtrapézba kör írható. Igazoljuk, hogy a szemközti érintési pontokat összekötő szakaszok hosszának egyike a trapéz alapjai hosszának mértani, a másik pedig harmonikus közepe.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábra jelöléseit felhasználva a trapéz \(\displaystyle AD\) szárán lévő szögekre \(\displaystyle α+δ=180°\). Így \(\displaystyle \alpha/2+\delta/2=90^{\circ}\). Ezért az \(\displaystyle AOD\) háromszög derékszögű, az átfogóhoz tartozó magassága \(\displaystyle r\). Az érintési szakaszok egyenlősége miatt \(\displaystyle AH=AE=\frac a2\), \(\displaystyle DH=DG=\frac c2\) és így \(\displaystyle AD=\frac{a+c}{2}\). Alkalmazzuk a magasságtételt a háromszögben: \(\displaystyle r=\sqrt{\frac a2\cdot\frac c2}=\frac{\sqrt{ac}}{2}\).

Tehát az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle G\) érintési pontok távolsága: \(\displaystyle EG=2r=\sqrt{ac}\), ami a két párhuzamos oldal mértani közepe.

A \(\displaystyle DHOG\) négyszögben \(\displaystyle DGO∡=DHO∡=90^{\circ}\), tehát a négyszög húrnégyszög, és így \(\displaystyle HOG∡=180^{\circ}-δ=α\).

Az \(\displaystyle AKD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \sin α=\frac{DK}{AD}=\frac{2r}{\frac{a+c}{2}}\).

Ezt felhasználva a \(\displaystyle HOJ\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \frac{HF}{2}=HJ=r\cdot \sin α=r\cdot \frac{2r}{\frac{a+c}{2}}=\frac{4r^2}{a+c}=\frac{ac}{a+c}\).

Tehát a másik két érintési pont távolsága: \(\displaystyle HF=\frac{2ac}{a+c}=\frac{2}{\frac1a+\frac1c}\), ami éppen a két párhuzamos oldal harmonikus közepe.

Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	95 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai