 |
A C. 1381. feladat (2016. november) |
C. 1381. Legyen az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle A\) csúcsából induló magasságvonalának és \(\displaystyle BC\) Thalész-körének metszéspontja \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle C\) csúcsából induló magasságvonalának és \(\displaystyle AB\) Thalész-körének metszéspontja \(\displaystyle N\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle |BM|=|BN|\).
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Tekintsük először a Thalész köröknek a háromszög belseje felé eső félköreit. Jelölje \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle E\) pedig a \(\displaystyle C\) csúcsból induló magasságnak rendre a \(\displaystyle BC\), illetve az \(\displaystyle AB\) oldallal vett metszéspontját. Mivel ekkor a \(\displaystyle D\), illetve az \(\displaystyle E\) csúcsnál jelölt szögek derékszögek, így a Thalész-tétel megfordítása szerint a két pont illeszkedik a megfelelő Thalész-körre.
A Thalész-tétel miatt az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) csúcsoknál jelölt szögek is derékszögek. A \(\displaystyle BADΔ\) és a \(\displaystyle BCEΔ\) hasonló, mivel egy-egy szögük derékszög, valamint a \(\displaystyle B\) csúcsnál található szögük közös. Emiatt a megfelelő oldalak aránya megegyezik:
\(\displaystyle \frac{EB}{BC}=\frac{BD}{AB}.\)
1. ábra
Szorozzunk be a nevezőkkel:
\(\displaystyle EB⋅AB=BD\cdot BC.\)
A derékszögű háromszögekre érvényes befogótételt írjuk fel a \(\displaystyle BMCΔ\)-re és a \(\displaystyle BNAΔ\)-re:
\(\displaystyle BM^2=BD\cdot BC,\)
\(\displaystyle BN^2=EB\cdot AB.\)
Helyettesítsük be az előző egyenlőségbe:
\(\displaystyle BN^2=BM^2, \)
amiből
\(\displaystyle BN=BM.\)
Ezzel az állítást igazoltuk.
Tekintsük most a teljes Thalész köröket a 2. ábra jelöléseit használva.
2. ábra
Ekkor mindkét magasságvonal két pontban metszi a megfelelő Thalész kört, ezek \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle M_2\), valamint \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle N_2\). A \(\displaystyle BC\) oldal fölé emelt Thalész-körnek \(\displaystyle BC\) átmérője, \(\displaystyle AD\) pedig erre merőleges szelő, így \(\displaystyle MM_2\) a \(\displaystyle BC\)-re merőleges húr. Így az \(\displaystyle M\) pont tükörképe \(\displaystyle BC\)-re az \(\displaystyle M_2\) pont.
Tehát \(\displaystyle BM=BM_2\).
Hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle BN=BN_2\). Már tudjuk, hogy \(\displaystyle BN=BM\), így \(\displaystyle BN_2=BM_2=BN=BM\) is igaz.
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Almási Adél Csilla, Dézsi Viktória, Kocsis Júlia, Kovács 161 Márton Soma, Németh Csilla Márta, Takács 666 Réka. 4 pontot kapott: 55 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 19 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2016. novemberi matematika feladatai