A C. 1406. feladat (2017. március)

C. 1406. Az \(\displaystyle \overline{abcd}\) négyjegyű számról a következőket tudjuk: \(\displaystyle a+b=c+d\), \(\displaystyle a+d=c\), \(\displaystyle 2(a+c)=b+d\), \(\displaystyle 3\overline{ab}=\overline{cd}\). Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első három összefüggés:

\(\displaystyle a + b = c + d,\)

\(\displaystyle a + d = c,\)

\(\displaystyle 2 (a + c )= b + d.\)

A 2. egyenletből \(\displaystyle c\) értékét beírva a 3. egyenletbe:

\(\displaystyle 2 ( a + a + d ) =b + d.\)

Rendezve:

\(\displaystyle 4a + d = b.\)

Innen b értékét beírva az 1. egyenletbe:

\(\displaystyle a + 4a + d = c + d.\)

Rendezve:

\(\displaystyle 5a=c.\)

Ebből \(\displaystyle c\) értékét beírva a 2. egyenletbe:

\(\displaystyle a + d = 5a.\)

Rendezve:

\(\displaystyle d = 4a.\)

Visszahelyettesítve a \(\displaystyle 4a + d = b\) egyenletbe:

\(\displaystyle b = 8a.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) egy négyjegyű szám egyjegyű számjegyei, így \(\displaystyle b = 8a\) miatt csak \(\displaystyle a=1\) lehetséges. Ebből \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\) és \(\displaystyle d=4\) adódik.

Az utolsó összefüggést nem használtuk fel, ellenőrizve: \(\displaystyle 3\cdot18=54\). A másik három egyenlet az ekvivalens átalakítások miatt teljesül.

A kérdéses négyjegyű szám tehát 1854.

Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	112 versenyző.
4 pontot kapott:	44 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai