A C. 1464. feladat (2018. február) |
C. 1464. Azt mondjuk, hogy egy tetszőleges \(\displaystyle A\) természetes számból a nála kisebb \(\displaystyle B\) természetes szám kiolvasható, ha \(\displaystyle A\) számjegyei közül néhányat letörölve, majd a megmaradó jegyeket a sorrend megváltoztatása nélkül összeolvasva megkapjuk \(\displaystyle B\)-t. Melyik a legkisebb olyan természetes szám, melyből bármely háromjegyű szám kiolvasható?
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel a megmaradó számjegyek sorrendjét nem tudjuk megváltoztatni, így a keresett számban bármely százas helyiértékű számjegynek kiválasztott számjegytől jobbra ott kell lenni a tíz számjegynek a tízes helyiértékhez és ugyanez igaz a tízes helyiértékű számjegyre is. Gondoljunk az azonos számjegyekből álló háromjegyű számokra (111, 222,…999). Ebből is látszik, hogy a 0 kivételével minden számjegyből három darabnak kell lenni a számban. A keresett szám úgy lesz a legkisebb, ha a százas, tízes és egyes helyiértékekhez szükséges számjegyeket balról jobbra haladva növekvő sorrendben írjuk le:
\(\displaystyle 12345678901234567890123456789.\)
Nevezzük a kapott szám három részét százas, tízes és egyes helyiértékű sorozatnak:
\(\displaystyle 12345678901234567890123456789.\)
Ha a százas helyiértékű sorozat elemei közé bekerül egy szám a tízes sorozat elemei közül, akkor a tőle jobbra lévő százas elemekkel nem olvashatók ki azok a háromjegyű számok, melyeknek tízes és egyes eleme is az előre hozott szám:
\(\displaystyle 11234567890234567890123456789,\, (211, 311,...911).\)
Tehát a kapott számot nem lehet tovább csökkenteni.
Statisztika:
165 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ács Imre, Balázs Réka, Bordás Milán, Bukor Benedek, Csonka Illés, Csóti Kristóf, Dékány Barnabás, Jankovits András, Kinyó Kincső, Kiszelovics Dorina, Markó Gábor, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Pinke Andrea, Shuborno Das, Surján Anett, Szalontai Kinga Sára, Szepessy Luca, Szűcs 865 Eszter, Tóth Imre, Trombitás Karolina Sarolta, Varga Dániel Jonatán. 4 pontot kapott: 61 versenyző. 3 pontot kapott: 48 versenyző. 2 pontot kapott: 20 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2018. februári matematika feladatai