A C. 1495. feladat (2018. szeptember) |
C. 1495. Tekintsük az alábbi egyenlőségsorozatot:
$$\begin{align*} 1 + 2 & = 3, \tag{1}\\ 4 + 5 + 6 & = 7 + 8, \tag{2}\\ 9 + 10 + 11 + 12 & = 13 + 14 + 15. \tag{3} \end{align*}$$A megfigyelt szabály alapján írjuk fel a \(\displaystyle k\)-adik sort és bizonyítsuk annak helyességét.
Javasolta: Kertész Ádám (Miami Beach)
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle k\)-adik sor bal oldala \(\displaystyle k^2\)-tel kezdődik, majd egyesével növelve még \(\displaystyle k\) tagot kell hozzáadni. Jobb oldalra a bal oldali utolsó tagot egyesével növelve \(\displaystyle k\) tagú összeget írunk. (A jobb oldal utolsó tagja így \(\displaystyle k^2+k+k\), ami \(\displaystyle (k+1)^2-1\), tehát a következő sor 1. tagja így valóban \(\displaystyle (k+1)^2\) lesz.) Ez alapján a \(\displaystyle k\). sor:
\(\displaystyle k^2+(k^2+1)+...+(k^2+k)=\left((k^2+k)+1\right)+...+\left((k^2+k)+k\right),\)
\(\displaystyle (k+1) k^2+\frac{(1+k}2\cdot k=k\cdot k^2+\frac{k+1+k+k}{2}\cdot k,\)
\(\displaystyle k^3+k^2+\frac{k^2}{2}+\frac k2=k^3+\frac{3k+1}{2}\cdot k,\)
\(\displaystyle k^3+\frac{3k^2}{2}+\frac k2=k^3+\frac{3k^2}2+\frac k2.\)
Mivel a lépések ekvivalensek voltak, így a \(\displaystyle k\)-adik sorban lévő összefüggés igaz.
Statisztika:
A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai