Problem C. 1546. (May 2019)

C. 1546. Find the integer solutions of the equation \(\displaystyle (x-8)(x-10)=2^y\).

(American competition problem)

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán két egész szám szorzata áll, így a jobb oldal értéke is egész, vagyis \(\displaystyle y\) nemnegatív egész szám. Tehát a jobb oldal kettőhatvány, így a bal oldali szorzat mindkét tényezőjének abszolútértéke kettőhatvány kell, hogy legyen. Ráadásul a bal oldali két tényező különbsége 2, azaz két olyan kettőhatvány abszolútértéke áll a bal oldalon, amiknek a különbsége 2. A kettőhatványok különbségsorozata szigorúan monoton nő, pontosan két kettőhatvány van, aminek a különbsége 2: a 2 és a 4.

Ezek alapján az előjeleket is figyelembe véve 2 eset lehetséges:

1. eset: \(\displaystyle x-8=4\) és \(\displaystyle x-10=2\). Ekkor \(\displaystyle 8=2^y\), azaz \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=12\).

2. eset: \(\displaystyle x-8=-2\) és \(\displaystyle x-10=-4\) Ekkor \(\displaystyle 8=2^y\), azaz \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=6\).

Ezeket az értékeket visszahelyettesítve látható, hogy teljesül az egyenlet.

Azaz két megoldás van: \(\displaystyle x=12, y=3\) és \(\displaystyle x=6, y=3\).

Statistics:

79 students sent a solution.
5 points:	Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Bodrogi Éva, Bognár 171 András Károly, Ecsedi Boglárka, Egyházi Hanna, Görcs András, Gyuricsek Szilárd, Hajdú Bálint, Halász Henrik, Imre Tamás, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kerekes Boldizsár, Kovács Alex, Mácsai Dániel, Molnár Réka, Páhán Anita Dalma, Patricia Janecsko, Sepsi Csombor Márton, Somogyi Dalma, Sümegi Géza, Szanyi Attila, Tüske Milán, Ungár Éva.
4 points:	26 students.
3 points:	20 students.
2 points:	6 students.
1 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019