Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1558. feladat (2019. szeptember)

C. 1558. Hány közös pontja van az \(\displaystyle x^2+y^2=1\) egyenletű körnek az \(\displaystyle y= ax^2-1\) egyenletű parabolával a \(\displaystyle 0\)-tól különböző \(\displaystyle a\) paraméter értékétől függően?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Helyettesítsük be a feladatban szereplő második egyenletet az elsőbe:

\(\displaystyle x^2+(ax^2-1)^2=1,\)

majd bontsuk fel a zárójelet és rendezzük, ekkor:

\(\displaystyle a^2x^4-2ax^2+x^2=0.\)

Kiemelve \(\displaystyle x^2\)-t:

\(\displaystyle x^2(a^2x^2-2a+1)=0.\)

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így két eset lehetséges.

1. eset: \(\displaystyle x^2=0\)
Ekkor \(\displaystyle x=0\) megoldás, azaz 1 közös pont biztosan lesz: a \(\displaystyle (0,-1)\).

2. eset: \(\displaystyle a^2x^2-2a+1=0\)
Ilyenkor

\(\displaystyle x^2=\frac{2a-1}{a^2}\)

(\(\displaystyle a \neq 0\) a feladat szövege alapján, így leoszthatunk \(\displaystyle a^2\)-tel). Mivel \(\displaystyle x^2 \geq 0\), így csak \(\displaystyle \frac{2a-1}{a^2} \geq 0,\) azaz \(\displaystyle 2a-1 \geq 0\) esetén kapunk megoldást: \(\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{2a-1}}{|a|}\).

Tehát, ha \(\displaystyle a > \frac{1}{2}\), akkor még 2 megoldást kapunk (\(\displaystyle a=\frac12\) esetén pedig ismét \(\displaystyle x=0\) adódik).

Azaz a két görbének 1 közös pontja van, ha \(\displaystyle a \leq \frac12\) és 3 közös pontja van, ha \(\displaystyle a > \frac12\).


Statisztika:

A C. 1558. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai