A C. 1623. feladat (2020. október)

C. 1623. Legyen \(\displaystyle m\) pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle a)\) létezik 3 olyan 2-hatvány, amely \(\displaystyle m\)-jegyű;

\(\displaystyle b)\) legfeljebb 4 olyan 2-hatvány létezik, amelyik \(\displaystyle m\)-jegyű.

(Brazil feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle m=1\)-re az állítás teljesül, a továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle m\geq 2\).

Jelölje \(\displaystyle A_m\) a legkisebb legalább \(\displaystyle m\)-jegyű 2-hatványt (világos, hogy ilyen létezik). Mivel \(\displaystyle m\geq 2\), ezért \(\displaystyle \frac{A_m}{2}\) szintén 2-hatvány, ami ezek szerint \(\displaystyle m\)-nél kevesebb jegyű kell legyen, így \(\displaystyle A_m<2\cdot 10^{m-1}\). Ekkor viszont \(\displaystyle A_m<2A_m<4A_m<8\cdot 10^{m-1}<10^m\), így \(\displaystyle A_m,2A_m\) és \(\displaystyle 4A_m\) is \(\displaystyle m\)-jegyű 2-hatványok, ezzel a feladat a) részét igazoltuk.

Másrészről, mivel \(\displaystyle 10^{m-1}\leq A_m\), ezért \(\displaystyle 10^m\leq 10A_m<16A_m\), vagyis \(\displaystyle 16A_m\) már több, mint \(\displaystyle m\) jegyből áll, tehát a 2-hatványok közül csak \(\displaystyle A_m,2A_m,4A_m,8A_m\) lehetnek \(\displaystyle m\)-jegyűek, ezzel a b) részt is igazoltuk.

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	69 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai