Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


K. 664. Van hat érménk, melyek közül négy darab 100 grammos, kettő pedig 99 grammos. Rendelkezésünkre áll egy kétkarú mérleg. Legalább hány mérésre van szükségünk ahhoz, hogy megtaláljuk az egyik könnyebb érmét?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 665. Egy utca egyik oldalán áll valahány játékrobot. Egy lépésben pontosan három robotnak tudjuk azt a parancsot adni, hogy menjen át az út túloldalára. Hány robot esetén lehet elérni, hogy a robotok az utca túloldalára kerüljenek át?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 666. Hány olyan hatjegyű szám van a 182 többszörösei között, melyben az első három számjegyből álló háromjegyű szám megegyezik az utolsó három számjegyből álló háromjegyű számmal?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 667. Induljunk ki egy pozitív egész számból. Egy lépésben, ha az aktuális számunk páros, akkor vegyük a felét, ha pedig páratlan, adjunk hozzá 1-et. A lépéseknek akkor van vége, ha el tudunk jutni az 1-hez.

\(\displaystyle a)\) Igaz-e, hogy bármelyik számból kiindulva előbb-utóbb (véges sok lépésben) az 1-hez jutunk?

\(\displaystyle b)\) Igaz-e, hogy legfeljebb 30 lépésben jutunk az 1-hez, ha egy négyjegyű számból indulunk ki?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 668. \(\displaystyle a)\) Hány olyan egyenlőszárú háromszög van, amelynek szárai 13 cm-esek és a területe 60 cm\(\displaystyle {}^2\)?

\(\displaystyle b)\) Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek befogói páros egész számok, és területe 60 cm\(\displaystyle {}^2\)?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


C. 1623. Legyen \(\displaystyle m\) pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle a)\) létezik 3 olyan 2-hatvány, amely \(\displaystyle m\)-jegyű;

\(\displaystyle b)\) legfeljebb 4 olyan 2-hatvány létezik, amelyik \(\displaystyle m\)-jegyű.

(Brazil feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1624. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle P\) pontját kössük össze \(\displaystyle D\)-vel, \(\displaystyle BC\) oldalának \(\displaystyle Q\) pontját pedig \(\displaystyle A\)-val, az így kapott szakaszok metszéspontját jelöljük \(\displaystyle R\)-rel. Az \(\displaystyle ARD\) háromszög területe 1200, az \(\displaystyle APR\) háromszög területe 600, a \(\displaystyle PBQR\) négyszög területe pedig \(\displaystyle 3380-240\sqrt{95}\) egység. Mekkora az \(\displaystyle RQCD\) négyszög területe?

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1625. Igazoljuk, hogy az egyjegyű pozitív egész számok közül bármelyik ötöt kiválasztva akad közöttük néhány, amelyek összege osztható 10-zel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1626. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja legyen \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle B\)-ből induló magasságvonal talppontja pedig \(\displaystyle T\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle FAC\sphericalangle=30^{\circ}\), akkor \(\displaystyle AF=BT\).

Róka Sándor (Nyíregyháza) javaslata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1627. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra teljesül, hogy \(\displaystyle a+b+c>0\), \(\displaystyle ab+bc+ca>0\) és \(\displaystyle abc>0\), akkor \(\displaystyle a>0\), \(\displaystyle b>0\) és \(\displaystyle c>0\).

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1628. Adjunk meg két olyan különböző pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, amelyre \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}\) négyzetszám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1629. Egy gömb átmegy egy 8 egység élű kocka egyik lapjának négy csúcsán és érinti a szemközti lapot. Határozzuk meg a gömb sugarát.

(Horvát feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


B. 5118. Lehet-e \(\displaystyle x\), \(\displaystyle \frac{14x+5}{9}\) és \(\displaystyle \frac{17x-5}{12}\) egyszerre egész szám?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5119. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszögben a beírt kör \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos érintője az \(\displaystyle AC\) oldalt a \(\displaystyle D\) pontban metszi. A \(\displaystyle D\) pont merőleges vetülete a \(\displaystyle BC\) oldalon az \(\displaystyle F\) pont. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AB=AD+BF\).

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5120. Kiszíneztük a pozitív egész számokat úgy, hogy \(\displaystyle a+b\) színét mindig egyértelműen meghatározza \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) színe; azaz, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle a'\) azonos színűek, valamint \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle b'\) azonos színűek, akkor \(\displaystyle a+b\) és \(\displaystyle a'+b'\) is azonos színűek. Igazoljuk, hogy ha van olyan szín, amit többször is használtunk, akkor a színezés valahonnan kezdve periodikus.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5121. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert, ahol \(\displaystyle x_1, x_2,\ldots,x_n\) pozitív valós számok, \(\displaystyle n\) pedig pozitív egész szám:

$$\begin{align*} x_1+x_2+\ldots +x_n & =9,\\ \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots +\frac1{x_n} & =1. \end{align*}$$

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5122. Zicc ErWin a Bergengóc Kosárliga valaha volt legbiztosabb kezű büntetődobója. Bár karrierje során a legelső büntetőjét kihagyta, az összesen \(\displaystyle 222\,222\) büntetődobásából csupán 2020 maradt ki.

A bergengóc statisztikusok szerint egy kosaras egy büntetődobása érdekes, ha a dobást közvetlenül követően teljesül az, hogy a sikeres dobások (az összes dobáshoz mért) százalékos aránya pozitív egész szám. (Például ha valaki az addigi összesen 40 kísérletéből 12-t bedobott, akkor az utolsó dobása érdekes volt, mert \(\displaystyle \frac{12}{40} \cdot 100 = 30 \in \mathbb{N}^+\), viszont az ezt követő 41-edik dobás – akár sikeres, akár nem – semmiféleképpen nem lesz érdekes.)

Legalább hány érdekes büntetője volt Zicc ErWinnek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5123. Andi és Bori elosztotta egymás között a SET játék 81 kártyalapját; Andihoz 40, Borihoz 41 lap került. Mindketten megszámolják, hogy a náluk lévő kártyák között hány olyan hármas van, ami SET-et alkot. Mennyi lehet az így kapott darabszámok összege?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5124. A szabályos négyoldalú gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet, \(\displaystyle E\) a gúla csúcsa. Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CE\) kitérő élek normáltranszverzálisának talppontjai az \(\displaystyle AB\) szakaszon \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle CE\) szakaszon pedig \(\displaystyle Q\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle Q\) felezi a \(\displaystyle CE\) élt. Határozzuk meg az \(\displaystyle AP: PB\) arányt, és számítsuk ki az alaplapnak az oldallapokkal bezárt szögét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5125. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög köré írt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DC\) félegyenesek az \(\displaystyle E\) pontban metszik egymást. A \(\displaystyle BCE\) körben az \(\displaystyle E\)-vel átellenes pont \(\displaystyle F\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle OF\) egyenesek egy ponton mennek át.

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


A. 783. Poliminónak nevezünk egy összefüggő alakzatot, ha azt egységnégyzetek oldalaik mentén történő összeillesztésével kapjuk. Legyen \(\displaystyle n\ge 3\) egész szám. Keressük meg \(\displaystyle n\) függvényében a legnagyobb pozitív egész \(\displaystyle C\)-t, melyre teljesül a következő feltétel: ha egy végtelen négyzetrács minden mezőjét kiszínezzük \(\displaystyle n\) szín valamelyikével, akkor található egy legalább \(\displaystyle c\) területű poliminó, mely legfeljebb \(\displaystyle n-1\) színt tartalmaz.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Stara Zagora) és Stefan Gerdjikov (Szófia)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 784. Legyenek \(\displaystyle n\), \(\displaystyle s\), \(\displaystyle t\) pozitív egész számok és \(\displaystyle 0<\lambda<1\). Adott egy \(\displaystyle n\) csúccsal és legalább \(\displaystyle \lambda n^2\) éllel rendelkező egyszerű gráf. Azt mondjuk, hogy az \(\displaystyle (x_1,\ldots,x_s,y_1,\ldots y_t)\) egy jó beillesztés, ha az \(\displaystyle x_i\) és \(\displaystyle y_j\) betűk nem feltétlenül különböző csúcsokat jelölnek, és mindegyik \(\displaystyle x_iy_j\) éle a gráfnak (\(\displaystyle 1~\le i \le s\), \(\displaystyle 1\le j\le t\)). Bizonyítsuk be, hogy a jó beillesztések száma legalább \(\displaystyle \lambda^{st}n^{s+t}\).

Javasolta: Williams Kada (Cambridge)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 785. Legyenek \(\displaystyle k\ge t\ge 2\) pozitív egészek. Ha \(\displaystyle n\ge k\) egész, akkor legyen \(\displaystyle p_n\) annak a valószínűsége, hogy az első \(\displaystyle n\) pozitív egész közül véletlenszerűen választva \(\displaystyle k\)-t teljesül, hogy a választott \(\displaystyle k\) szám közül bármely \(\displaystyle t\)-nek a legnagyobb közös osztója 1, \(\displaystyle q_n\) pedig annak a valószínűsége, hogy az első \(\displaystyle n\) pozitív egész közül véletlenszerűen választva (\(\displaystyle k-t+1\))-et a választott számok szorzata \(\displaystyle t\)-edik hatványmentes.

Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle p_n\) és \(\displaystyle q_n\) sorozat határértéke megegyezik.

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(7 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)