Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1644. feladat (2021. január)

C. 1644. Egy keskeny, \(\displaystyle 10 \mathrm{cm} \times 30 \mathrm{cm}\) méretű, téglalap alakú tepsiben sütit sütöttünk, melynek a széle lett a legropogósabb. A sütit úgy vágjuk fel, hogy a vágások az oldalakkal párhuzamosan, végig futnak. Hány darabra osztható a sütemény, ha azt szeretnénk, hogy minden darabon ugyanakkora rész legyen a ropogós széléből?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A feltétel szerint az kell, hogy a darabok mindegyike ugyanannyit tartalmazzon a téglalap kerületéből. Vizsgáljuk meg, hogy e feltétel mellett mely \(\displaystyle k,\ell\) értékekre lehetséges, hogy \(\displaystyle k\) vágás fut a hosszabb, 30 cm-es oldallal párhuzamosan és \(\displaystyle \ell\) vágás a rövidebb, 10 cm-es oldallal párhuzamosan. (Ekkor a részek száma \(\displaystyle (k+1)(\ell+1)\) lesz.)

Ha \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) mindegyike legalább 2, akkor van olyan rész, ami a széléből semmit sem tartalmaz, így ez nem lehetséges. Tehát \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) valamelyike 0 vagy 1. Ezt a négy esetet külön-külön vizsgáljuk.

1. eset: \(\displaystyle k=0\)
Ha \(\displaystyle \ell=0\), akkor a feltétel teljesül, tehát \(\displaystyle (k,\ell)=(0,0)\) lehetséges, ilyenkor 1 darab süti van.
Ha \(\displaystyle \ell=1\), akkor világos, hogy a rövidebb oldallal párhuzamos szimmetriatengely mentén kell vágni, ilyenkor két egybevágó szelet alakul ki, a feltétel teljesül, azaz \(\displaystyle (k,\ell)=(0,1)\) is lehet, ekkor 2 darab süti van.
Ha \(\displaystyle \ell\geq 2\), akkor a két szélső szelet tartalmaz egy-egy 10 cm-es oldalt, és ezen kívül még két-két szakaszt a hosszabbik 30 cm-es oldalakból. Ezen szakaszok hossza legyen \(\displaystyle (0<)x\) cm (világos, hogy a két szélső szeletnél ennek a szakasznak a hossza ugyanakkora kell legyen). (Lásd a lenti ábrát a szaggatott vonal nélkül.) Így tehát a két szélső szelet mindegyike összesen \(\displaystyle 10+2x\) cm szélt tartalmaz. A hosszabbik oldalakon fennmaradó két darab \(\displaystyle (30-2x)\) cm-es szél a maradék \(\displaystyle \ell-2\) vágással kialakított \(\displaystyle \ell-1\) részhez kerül, és a nekik jutó rész hossza is \(\displaystyle 10+2x\) kell legyen. Vagyis a \(\displaystyle 2(30-2x)=(\ell-1)(10+2x)\) egyenletnek kell teljesülnie. Az egyenletet átalakítva:

\(\displaystyle 60-4x=10(\ell-1)+2(\ell-1)x,\)

\(\displaystyle 60-10(\ell-1)=2(\ell+1)x.\)

Az egyenlet jobb oldalán pozitív érték áll, így \(\displaystyle \ell\leq 6\)-nak teljesülnie kell. Ha \(\displaystyle \ell\leq 6\), akkor az \(\displaystyle x=\frac{60-10(\ell-1)}{2(\ell+1)}\) választás megfelelő, és a két szélső vágás után csak arra kell figyelni, hogy vágások közötti távolságok egyformák legyenek. Tehát \(\displaystyle (k,\ell)\) lehet \(\displaystyle (0,2),\ (0,3),\ (0,4),\ (0,5),\ (0,6)\) is, ekkor a darabok száma rendre 3, 4, 5, 6, 7.

2. eset: \(\displaystyle k=1\)
Világos, hogy a hosszabb oldallal párhuzamos szimmetriatengelyen kell vágni a hosszabb oldallal párhuzamos 1 darab vágásnál. (Ugyanis a 10 cm-es oldal melletti két szelet ugyanannyi szélt tartalmaz a megfelelő 30 cm-es oldalból, ezért a 10 cm-es oldalból is ugyanannyit kell tartalmazniuk.)

Ezek szerint a szeletek a 30 cm-es vágásra tengelyesen szimmetrikusan helyezkednek el. Ha ezt a vágást (ami az ábrán szaggatott vonallal van jelölve) elhagynánk, akkor feleannyi szelet jönne létre (két-két szelet egybeolvad, mindegyik a tengelyes tükörképével), és egy megfelelő felosztást kapunk \(\displaystyle k=0\)-ra. Megfordítva, ha egy \(\displaystyle k=0\)-nál megfelelő felosztásnál még egy hosszabb oldallal párhuzamos, a középponton átmenő vágást csinálunk, akkor \(\displaystyle k=1\) mellett kapunk jó sütiosztást. Így az 1. eset alapján itt a megfelelő lehetőségek: \(\displaystyle (k,\ell)\) lehet \(\displaystyle (1,0),\ (1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (1,4),\ (1,5),\ (1,6)\) is, ekkor a darabok száma rendre 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.

3. eset: \(\displaystyle \ell=0\)
Csak az eddig nem vizsgált \(\displaystyle k\geq 2\) eseteket nézzük. Ekkor a két szélső (a 30 cm-es oldalhoz közelebbi) szeletnek több, mint 30 cm jut a kerületből, viszont van még legalább egy szelet, ami kevesebb mint 20 cm-t (a két 10 cm-es oldal egy-egy részét) kaphatja, így a feltétel biztosan nem teljesül.

4. eset: \(\displaystyle \ell=1\)
A 2. esethez hasonlóan itt is világos, hogy a rövidebb oldallal párhuzamos egyetlen vágást elhagyva egy megfelelő konfigurációt kapnánk \(\displaystyle \ell=0\) mellett (hiszen így két-két szelet alkot minden új szeletet). Mivel a 3. esetben nem kaptunk újabb megoldást (amire \(\displaystyle k\geq 2\)), ezért itt sem kapunk.

Tehát a darabok száma 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12 vagy 14 lehet.


Statisztika:

A C. 1644. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári matematika feladatai