Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1645. feladat (2021. január)

C. 1645. Egy hegyesszögű háromszögben – a szokásos jelöléseket használva – \(\displaystyle m_b\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) ebben a sorrendben egymás utáni pozitív egész számok. Mekkora a háromszög területe?

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög hegyesszögű, ezért minden magassága a háromszögön belül van, így az \(\displaystyle m_b\) magasság is, az \(\displaystyle m_b\) magasság \(\displaystyle D\) talppontja pedig a \(\displaystyle CA\) oldal belső pontja. Tekintsük a következő ábrát.

A feltétel szerint az \(\displaystyle m_b\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) ebben a sorrendben egymás utáni pozitív egész számok, ezért \(\displaystyle m_b=a-1\), \(\displaystyle b=a+1\) és \(\displaystyle c=a+2\).

Az ábra \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle BCD\) derékszögű háromszögeire felírt Pitagorasz-tételekből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle c^2-(b-x)^2=a^2-x^2\), azaz

\(\displaystyle (a+2)^2-((a+1)-x)^2=a^2-x^2.\)

Végezzzük el a műveleteket és rendezzük az egyenletet:

\(\displaystyle a^2+4a+4-(a^2+2a+1-2ax-2x+x^2)=a^2-x^2,\)

\(\displaystyle a^2-2a-3=2(a+1)x.\)

Az egyenlet bal oldala szorzattá alakítható:

\(\displaystyle (a+1)(a-3)=2(a+1)x,\)

amelyből a nyilván pozitív \(\displaystyle a+1\) tényezővel osztva azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle x=\frac{a-3}{2}.\)

Az ábra \(\displaystyle BCD\) háromszögére felírhatjuk a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle x^2+(a-1)^2=a^2\), vagyis (1) alapján

\(\displaystyle \frac{(a-3)^2}{4}+(a-1)^2=a^2.\)

Végezzük el a műveleteket és rendezzük az egyenletet:

\(\displaystyle a^2-6a+9+(4a^2-8a+4)=4a^2,\)

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle a^2-14a+13=0.\)

A (2) másodfokú egyenlet gyökei: \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=13\).

Az \(\displaystyle a_1=1\) nyilván nem megoldás, mert ebben az esetben az \(\displaystyle m_b\) magasság hossza \(\displaystyle 0\) lenne. Ezért csak az \(\displaystyle a_2=13\) megoldása a feladatnak. Ezt figyelembe véve \(\displaystyle m_b=12, a=13, b=14\) és \(\displaystyle c=15\).

A háromszög területe tehát (területegységben számolva):

\(\displaystyle T=\frac{b\cdot{m_b}}{2}=\frac{14\cdot12}{2}=84.\)


Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:62 versenyző.
4 pontot kapott:26 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai