Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1654. feladat (2021. február)

C. 1654. Adjuk meg azoknak a köröknek a sugarát, amelyek érintik az \(\displaystyle f(x)=\frac{3x-6}{4}\) és a \(\displaystyle g(x)=\frac{28-4x}{3}\) függvények grafikonját, valamint az \(\displaystyle x\) tengelyt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle f(x)\) és \(\displaystyle g(x)\) függvények képe a derékszögű koordináta-rendszerben egy-egy egyenes, legyenek ezek rendre \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\). A függvények hozzárendelési szabályából leolvashatóan az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) egyenesek meredeksége:

\(\displaystyle m_f=\frac{3}{4};\qquad{m_g=-\frac{4}{3}}.\)

Ha két egyenesnek létezik meredeksége, akkor a két egyenes pontosan akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata \(\displaystyle -1\). Ez a feladatbeli két egyenesnél fennáll, hiszen

\(\displaystyle m_f\cdot{m_g}=\frac{3}{4}\cdot\Bigg(-\frac{4}{3}\Bigg)=-1.\)

Legyenek az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) egyenesnek az \(\displaystyle x\) tengellyel való metszéspontjai rendre \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), a két egyenes metszéspontja pedig \(\displaystyle C\).

A

\(\displaystyle \frac{3x-6}{4}=0;\qquad{\frac{28-4x}{3}=0}\)

egyenletekből azt kapjuk, hogy az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) pontok koordinátái:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle A(2;0);\qquad{B(7;0)}.\)

A

\(\displaystyle \frac{3x-6}{4}=\frac{28-4x}{3}\)

egyenlet megoldása \(\displaystyle x=5,2\), ez a \(\displaystyle C\) pont első koordinátája, innen visszahelyettesítéssel kapjuk a \(\displaystyle C\) pont második koordinátáját. Így

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle C(5,2;\;{2,4}).\)

Tekintsük most a feladat feltételeinek megfelelő ábrát.

A továbbiakban kiszámítjuk az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög oldalainak hosszát és a háromszög területét. Az ábrából könyen leolvasható, hogy \(\displaystyle AB=5\). A \(\displaystyle BC\) távolságot a két, koordinátáival adott pont távolságképletéből kapjuk:

\(\displaystyle BC=\sqrt{(7-5,2)^2+(0-2,4)^2}=3,\)

így az \(\displaystyle AC\) távolság a Pitagorasz-tétel alkalmazásával:

\(\displaystyle AC=4.\)

Eredményeink segítségével megadhatjuk az \(\displaystyle ABC\) háromszög kerületét és területét:

\(\displaystyle K_{ABC}=12;\qquad T_{ABC}=6.\)

A feladatban szereplő függvények grafikonját és az \(\displaystyle x\) tengelyt érintő körök nem mások, mint az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle K\) középpontú beírt köre és az oldalaihoz hozzáírt, \(\displaystyle K_a, K_b, K_c\) középpontú körök. A körök sugarai, mint ismeretes

\(\displaystyle r=\frac{T_{ABC}}{s},\qquad{R_a=\frac{T_{ABC}}{s-a}},\qquad{R_b=\frac{T_{ABC}}{s-b}},\qquad{R_c=\frac{T_{ABC}}{s-c}},\)

ahol \(\displaystyle s=6\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög félkerülete. A terület és a kerület ismeretében ezek egyszerűen kiszámíthatók:

\(\displaystyle r=6/6=1,\qquad{R_a=6/3=2},\qquad{R_b=6/2=3},\qquad{R_c=6/1=6}.\)


Statisztika:

A C. 1654. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. februári matematika feladatai