Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1674. feladat (2021. május)

C. 1674. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan derékszögű háromszög van, melyben az oldalak mérőszámai pozitív egészek és az átfogó egy egységgel hosszabb az egyik befogónál.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Olyan derékszögű háromszöget keresünk, melynek \(\displaystyle a,b\) hosszúságú befogóira és \(\displaystyle c\) hosszúságú átfogójára az teljesül, hogy (például) \(\displaystyle c=b+1\), továbbá \(\displaystyle a,b,c\) egészek.

A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint \(\displaystyle a,b,c\) pontosan akkor lesznek egy derékszögű háromszög befogói és átfogója, ha \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Vagyis olyan hármasokat keresünk, melyekre

\(\displaystyle a^2+b^2=(b+1)^2,\)

azaz

\(\displaystyle a^2=2b+1\)

teljesül. Ezért \(\displaystyle a\)-nak páratlannak kell lennie: \(\displaystyle a=2A+1\) alkalmas \(\displaystyle A\) egésszel. Ekkor

\(\displaystyle 4A^2+4A+1=2b+1,\)

és így

\(\displaystyle b=2A^2+2A.\)

Tehát

\(\displaystyle a=2A+1,\quad b=2A^2+2A,\quad c=2A^2+2A+1.\)

Megfordítva, bármely pozitív egész \(\displaystyle A\) esetén ezek az értékek egy derékszögű háromszög oldalai és \(\displaystyle c=b+1\) is teljesül; ezzel igazoltuk a feladat állítását.


Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Barbara, Andó Lujza, Bencz Benedek, Besze Zsolt, Biró 424 Ádám, Borsos Balázs, Deák Gergely, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Ferenc Ákos, Flódung Áron , Győrffy Nándor, Han Ziying, Horváth 530 Mihály, Horváth 828 Mátyás, Horváth Milán, Hűse Máté, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Kádár 1115 Júlia, Kadem Aziz, Kalmár Botond, Kelemen Anna, Keszthelyi Eszter, Kothencz Laura, Kovács Benedek Noel, Kurucz Márton, Lőrincz László Lénárd, Molnár Kristóf, Molnár Réka, Németh László Csaba, Papp Milán, Patricia Janecsko, Sarnyai zalán, Schneider Anna, Sipeki Márton, Stein Felix, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Szittyai Anna, Takács Donát György, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós, Werner Kinga.
4 pontot kapott:27 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai