A C. 1674. feladat (2021. május) |
C. 1674. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan derékszögű háromszög van, melyben az oldalak mérőszámai pozitív egészek és az átfogó egy egységgel hosszabb az egyik befogónál.
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Olyan derékszögű háromszöget keresünk, melynek \(\displaystyle a,b\) hosszúságú befogóira és \(\displaystyle c\) hosszúságú átfogójára az teljesül, hogy (például) \(\displaystyle c=b+1\), továbbá \(\displaystyle a,b,c\) egészek.
A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint \(\displaystyle a,b,c\) pontosan akkor lesznek egy derékszögű háromszög befogói és átfogója, ha \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Vagyis olyan hármasokat keresünk, melyekre
\(\displaystyle a^2+b^2=(b+1)^2,\)
azaz
\(\displaystyle a^2=2b+1\)
teljesül. Ezért \(\displaystyle a\)-nak páratlannak kell lennie: \(\displaystyle a=2A+1\) alkalmas \(\displaystyle A\) egésszel. Ekkor
\(\displaystyle 4A^2+4A+1=2b+1,\)
és így
\(\displaystyle b=2A^2+2A.\)
Tehát
\(\displaystyle a=2A+1,\quad b=2A^2+2A,\quad c=2A^2+2A+1.\)
Megfordítva, bármely pozitív egész \(\displaystyle A\) esetén ezek az értékek egy derékszögű háromszög oldalai és \(\displaystyle c=b+1\) is teljesül; ezzel igazoltuk a feladat állítását.
Statisztika:
A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai