Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1698. feladat (2021. december)

C. 1698. Zoli nem szereti a könyveket, ám elhatározza, hogy ennek ellenére összesen pontosan 2021 oldalt fog elolvasni a 2021. évben, egymást követő napokon. Úgy tervezi, hogy minden nap egy oldallal többet olvas, mint az előző napon. Hány oldalt olvasson első napon, ha tudjuk, hogy Zoli a lehető legtöbb napra szeretné elnyújtani a 2021 oldal elolvasását, ám időhiány miatt nem tud 100 oldalnál többet olvasni egy nap?

Javasolta: Sáfár Lajos (Ráckeve)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az első napon elolvasott oldalak száma \(\displaystyle n\) (\(\displaystyle n \leq 100\) pozitív egész szám). Tegyük fel, hogy Zoli összesen \(\displaystyle k\) napon keresztül olvas (\(\displaystyle k \leq 365\) pozitív egész szám). Keressük \(\displaystyle k\) maximális értékét a megadott feltételek mellett. Az elolvasott oldalak számára felírhatjuk a következő egyenletet:

\(\displaystyle 2021=n+(n+1)+(n+2)+ \ldots + (n+k-1).\)

Az egynemű tagokat összevonjuk, majd alkalmazzuk az első \(\displaystyle k-1\) darab pozitív egész szám összegzésére vonatkozó képletet:

\(\displaystyle 2021= n \cdot k+ 1 + 2 + 3 + \ldots k-1 = n\cdot k+ \frac{k \cdot (k-1)}{2}.\)

Az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk \(\displaystyle 2\)–vel és felbontjuk a zárójelet, majd szorzattá alakítjuk a jobb oldalon kapott kifejezést:

\(\displaystyle 4042= 2 \cdot n \cdot k + k^2 -k= k \cdot (2n + k -1).\)

A \(\displaystyle k\) tehát osztója a \(\displaystyle 4042\)–nek, így a \(\displaystyle 4042= 2 \cdot 43 \cdot 47\) prímtényezős felbontás alapján megállapítjuk a \(\displaystyle k\) lehetséges értékeit, majd az ezekhez tartozó megfelelő \(\displaystyle n\) értékeket. A könnyebb áttekinthetőség kedvéért ezeket az alábbi összefoglaló táblázatban soroltuk fel.

\(\displaystyle k\) értéke (napok száma)\(\displaystyle 2n+k-1\) értéke \(\displaystyle n\) értéke (az első napi adag)
\(\displaystyle 1\)\(\displaystyle 4042\)\(\displaystyle 2021>100\), nem megoldás
\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 2021\)\(\displaystyle 1010>100\), nem megoldás
\(\displaystyle 43\)\(\displaystyle 94\)\(\displaystyle 26\), lehetséges
\(\displaystyle 47\)\(\displaystyle 86\)\(\displaystyle 20\), lehetséges
\(\displaystyle 86\) \(\displaystyle 47\) \(\displaystyle n=-19<0\), nem megoldás
\(\displaystyle 94\)\(\displaystyle 43\) \(\displaystyle n=-25<0\), nem megoldás
\(\displaystyle 2021>365\), nem megoldás
\(\displaystyle 4042>365\), nem megoldás  

A két lehetséges megoldás közül az felel meg a feladat feltételeinek, amelyben a napok száma, tehát \(\displaystyle k\) értéke nagyobb. Ennek alapján a \(\displaystyle k=47\) és \(\displaystyle n=20\) a megfelelő, tehát Zolinak az első napon \(\displaystyle 20\) oldalt kell elolvasnia és így \(\displaystyle 47\) napig tart a \(\displaystyle 2021\) oldal elolvasása.


Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balogh Adrián, Egyházi Hanna, Fekete Patrik, Fenyvesi Bence, Hazadi Noémi, Horváth Milán, Kurucz Márton, Radzik Réka, Szabó Réka, Szittyai Anna, Waldhauser Miklós, Xu Yiling.
4 pontot kapott:Besze Zsolt, Biborka Dániel, Deák Gergely, Fazekas István, Halász Henrik, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Kiss Gábor Botond, Magyar Gábor Balázs, Nemes 468 Kornél, Németh Máté Előd, Pekk Márton, Rumpler Bianka, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Süveges Gergő, Szalanics Tamás, Szegedi Ágoston, Tóth Gréta.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai