 |
A C. 1709. feladat (2022. március) |
C. 1709. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egész számok osztói a 720-nak, \(\displaystyle ab\) pedig nem osztója 720-nak. Hány ilyen rendezett \(\displaystyle (a;b)\) számpár van?
Javasolta: Róka Sándor Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle 720\) prímtényezős felbontása \(\displaystyle 720=2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\), ezért \(\displaystyle 5 \cdot 3 \cdot 2=30\) pozitív osztója van. Ekkor összesen \(\displaystyle 30 \cdot 30=900\) olyan rendezett számpár van, amelyekben a \(\displaystyle 720\) pozitív osztói szerepelnek. Összeszámoljuk azokat, amelyekre nem teljesül a feladat feltétele, azaz az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle ab\) mindegyike osztója a \(\displaystyle 720\)-nak.
Hányféleképpen szerepelhetnek a \(\displaystyle 2\)-es tényezők az \(\displaystyle (a;b)\) számpárokban?
– Ha az \(\displaystyle a\) számban nem szerepel a \(\displaystyle 2\)-es, akkor a \(\displaystyle b\) számban \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) vagy \(\displaystyle 4\) darab \(\displaystyle 2\)-es tényező szerepelhet, ez \(\displaystyle 5\) esetet jelent.
– Ha az \(\displaystyle a\) számban egy \(\displaystyle 2\)-es van, akkor a \(\displaystyle b\) számban \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), vagy \(\displaystyle 3\) darab szerepelhet, ez \(\displaystyle 4\) eset.
– Ha az \(\displaystyle a\) számban két darab \(\displaystyle 2\)-es van, akkor a \(\displaystyle b\) számban \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), vagy \(\displaystyle 2\) szerepelhet, ez \(\displaystyle 3\) eset.
– Ha az \(\displaystyle a\) számban három \(\displaystyle 2\)-es van, akkor a \(\displaystyle b\) számban vagy nincsen, vagy \(\displaystyle 1\) lehet, ez \(\displaystyle 2\) eset.
– Végül pedig ha az \(\displaystyle a\)-ban \(\displaystyle 4\)-szer szerepel a \(\displaystyle 2\)-es tényező, akkor a \(\displaystyle b\)-ben nem szerepelhet, ez \(\displaystyle 1\) eset. Összesen \(\displaystyle 5+4+3+2+1=15\) esetet számoltunk össze.
A fentiekhez hasonlóan számolhatjuk össze a lehetőségek számát a \(\displaystyle 3\) és az \(\displaystyle 5\) prímtényező esetében: A \(\displaystyle 3\)-as tényező \(\displaystyle 3+2+1=6\)-féleképpen szerepelhet, míg az \(\displaystyle 5\)-ös tényező \(\displaystyle 2+1=3\)-féleképpen.
Összesen tehát \(\displaystyle 15 \cdot 6 \cdot 3=270\) olyan rendezett \(\displaystyle (a;b)\) számpár van, amelyben mindkét szám pozitív és az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle ab\) mindegyike osztója a \(\displaystyle 720\)-nak, ezért \(\displaystyle 900-270=630\) olyan van, amelyekre \(\displaystyle ab\) nem osztója a \(\displaystyle 720\)-nak.
Most megvizsgáljuk az előjeleket, hiszen a feladatban egész számokról van szó. A rendezett \(\displaystyle (a;b)\) számpárban szereplő számok bármelyike lehet pozitív vagy negatív, ez \(\displaystyle 2 \cdot 2=4\) eset az előjeleket illetően, így összesen \(\displaystyle 4 \cdot 630= 2520\) olyan számpár van, amelyre teljesülnek a feladat feltételei.
Statisztika:
A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai