Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1713. feladat (2022. március)

C. 1713. Az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle a\) olyan valós számok, amelyekre teljesül, hogy \(\displaystyle x+\frac{1}{x}=a\). Határozzuk meg \(\displaystyle a\) függvényében az \(\displaystyle x^{13}+\frac{1}{x^{13}}\) értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.


1. megoldás. Ismert, hogy ha \(\displaystyle x>0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \geq2}\), ha pedig \(\displaystyle x<0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \leq -2}\), tehát \(\displaystyle x\) nemnulla valós szám, \(\displaystyle a \leq -2\) vagy \(\displaystyle a \geq 2\), azaz \(\displaystyle a^2 \geq 4\).
Az \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=a}\) egyenletet ekvivalens lépéseken keresztül az

\(\displaystyle x^2-ax+1=0\)

alakra hozhatjuk, amelyből a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva

\(\displaystyle \{x; \frac{1}{x}\} =\{ \frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}; \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2} \}.\)

A kapott gyököket behelyettesítjük a keresett kifejezésben \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{x}}\) helyére:

\(\displaystyle x^{13}+ \frac{1}{x^{13}}=x^{13}+ {\Big( \frac{1}{x}\Big)^{13}}=\)

\(\displaystyle =\Bigm( \frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} \Bigm)^{13} +\Bigm( \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2} \Bigm)^{13}=\)

\(\displaystyle =2 \cdot \frac{a^{13}+ \binom{13}{2}a^{11} \cdot (a^2-4)+ \binom{13}{4}a^{9} \cdot (a^2-4)^2+ \binom{13}{6}a^{7} \cdot (a^2-4)^3}{2^{13}}+\)

\(\displaystyle +2 \cdot \frac{\binom{13}{8}a^{5} \cdot (a^2-4)^4+ \binom{13}{10}a^{3} \cdot (a^2-4)^5+ \binom{13}{12}a^{1} \cdot (a^2-4)^6}{2^{13}}=\)

\(\displaystyle =\frac{a^{13}+ 78 \cdot a^{11} \cdot (a^2-4)+ 715 \cdot a^{9} \cdot (a^2-4)^2+ 1716 \cdot a^{7} \cdot (a^2-4)^3}{2^{12}} +\)

\(\displaystyle +\frac{ 1287 \cdot a^{5} \cdot (a^2-4)^4+ 286 \cdot a^{3} \cdot (a^2-4)^5+ 13a \cdot (a^2-4)^6}{2^{12}}=\)

\(\displaystyle =\frac{4096a^{13}-53248a^{11} + 266240a^9-638976a^7+745472a^5-372736a^3+53248a}{4096}=\)

\(\displaystyle =a^{13}-13a^{11} + 65a^9-156a^7+182a^5-91a^3+13a.\)

2. megoldás. Ismert, hogy ha \(\displaystyle x>0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \geq2}\), ha pedig \(\displaystyle x<0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \leq -2}\), tehát \(\displaystyle x\) nemnulla valós szám, \(\displaystyle a \leq -2\) vagy \(\displaystyle a \geq 2\), azaz \(\displaystyle a^2 \geq 4\).
A páros hatványokat négyzetre emeléssel kaphatjuk meg (megtehetjük, hiszen a két oldalon azonos előjelű kifejezések állnak):

\(\displaystyle \Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big)^2=x^{2n}+2+ \frac{1}{x^{2n}},\)

amelyből

\(\displaystyle x^{2n}+ \frac{1}{x^{2n}}=\Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big)^2-2.\)

Ezt kétszer alkalmazzuk:

\(\displaystyle x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}=\Big(x+ \frac{1}{x}\Big)^2-2=a^2-2,\)

\(\displaystyle x^{4}+ \frac{1}{x^{4}}=\Big(x^2+ \frac{1}{x^2}\Big)^2-2=(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2+2.\)

Vegyük észre, hogy

\(\displaystyle \Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big) \cdot \Big(x^{n+1}+ \frac{1}{x^{n+1}}\Big)=x^{2n+1} + x + \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^{2n+1}},\)

ahová \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=a}\)-t helyettesítve, majd átrendezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle x^{2n+1} + \frac{1}{x^{2n+1}}=\Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big) \cdot \Big(x^{n+1}+ \frac{1}{x^{n+1}}\Big)-a.\)

A fenti összefüggést alkalmazzuk, majd felhasználjuk az előzőleg kapottakat:

\(\displaystyle x^{3}+ \frac{1}{x^{3}}=\Big(x+ \frac{1}{x}\Big) \cdot \Big(x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}\Big)-a=a(a^2-2)-a=a^3-3a.\)

Ismételjük a lépéseket, amíg a kívánt kifejezést meg nem kapjuk:

\(\displaystyle x^{6}+ \frac{1}{x^{6}}=\Big(x^3+ \frac{1}{x^3}\Big)^2-2=(a^3-3a)^2-2=a^6-6a^4+9a^2-2,\)

\(\displaystyle x^{7}+ \frac{1}{x^{7}}=\Big(x^{3}+ \frac{1}{x^3}\Big) \cdot \Big(x^{4}+ \frac{1}{x^{4}}\Big)-a=(a^3-3a)(a^4-4a^2+2)-a=\)

\(\displaystyle =a^7-7a^5+14a^3-7a,\)

\(\displaystyle x^{13}+ \frac{1}{x^{13}}=\Big(x^{6}+ \frac{1}{x^6}\Big) \cdot \Big(x^{7}+ \frac{1}{x^{7}}\Big)-a=(a^6-6a^4+9a^2-2)(a^7-7a^5+14a^3-7a)-a=\)

\(\displaystyle =a^{13}-13a^{11} + 65a^9-156a^7+182a^5-91a^3+13a.\)


Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Fekete Patrik, Fenyvesi Bence, Halász Henrik, Horváth Milán, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, Nagy Daniella, Pekk Márton, Radzik Réka, Sipeki Márton, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Szittyai Anna, Tóth Gréta.
4 pontot kapott:Besze Zsolt, Bilicki Vilmos, Szabó Zóra, Werner Kinga.
3 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai