Problem C. 1732. (September 2022)
C. 1732. Let \(\displaystyle U\) denote the set of prime numbers greater than \(\displaystyle 337\) but not greater than \(\displaystyle 733\). How many \(\displaystyle 4\)-element subset does \(\displaystyle U\) have that contain \(\displaystyle 467\) or \(\displaystyle 499\) as an element?
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Az \(\displaystyle U\) halmaznak \(\displaystyle 62\) eleme van, hiszen a \(\displaystyle 337\) a \(\displaystyle 68.\), a \(\displaystyle 733\) pedig a \(\displaystyle 130.\) pozitív prímszám, és a \(\displaystyle 337\) nem eleme \(\displaystyle U\)-nak, csak a nála nagyobb prímszámok, egészen \(\displaystyle 733\)-ig. Az \(\displaystyle U\)-nak olyan \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmaza, amelyben a \(\displaystyle 467\) benne van, összesen \(\displaystyle \binom{61}{3}=35\,990\) darab van, ugyanis a \(\displaystyle 467\)-et mindenképpen beletesszük, a hiányzó \(\displaystyle 3\) elemet pedig tetszőlegesen választjuk a megmaradt \(\displaystyle 61\) különböző elem közül úgy, hogy a sorrendjük nem számít. Ezeken kívül még azok a \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmazok is jók, amelyeknek nem eleme a \(\displaystyle 467\), a \(\displaystyle 499\) viszont igen. Ilyen részhalmazból összesen \(\displaystyle \binom{60}{3}=34\,220\) darab különböző van. A megoldás ezen számok összegeként adódik, azaz \(\displaystyle 35\,990+34\,220=70\,210\) olyan \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmaza van \(\displaystyle U\)-nak, amelynek a \(\displaystyle 467\) vagy a \(\displaystyle 499\) eleme.
2. megoldás. Az \(\displaystyle U\) halmaznak \(\displaystyle 62\) eleme van, hiszen a \(\displaystyle 337\) a \(\displaystyle 68.\), a \(\displaystyle 733\) pedig a \(\displaystyle 130.\) pozitív prímszám, és a \(\displaystyle 337\) nem eleme \(\displaystyle U\)-nak, csak a nála nagyobb prímszámok, egészen \(\displaystyle 733\)-ig. Az \(\displaystyle U\)-nak olyan \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmaza, amelyben a \(\displaystyle 467\) benne van, összesen \(\displaystyle \binom{61}{3}=35\,990\) darab van, és teljesen hasonló módon ugyanennyi olyan \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmaz van, amelynek a \(\displaystyle 499\) eleme. Ezeket összeadva duplán számoltuk azokat a halmazokat, amelyeknek a \(\displaystyle 467\) és a \(\displaystyle 499\) is eleme, így ezek számát, a \(\displaystyle \binom{60}{2}=1770\)-et levonjuk az előzőek összegéből. Összesen \(\displaystyle 2 \cdot \binom{61}{3} - \binom{60}{2}=71\,980-1770=70\,210\) olyan \(\displaystyle 4\)-elemű részhalmaza van \(\displaystyle U\)-nak, amelynek a \(\displaystyle 467\) vagy a \(\displaystyle 499\) eleme.
Statistics:
72 students sent a solution. 5 points: Angyal Fanni Zsófia, Antal László, Baksa Anna, Baranyi Bartal, Bilicki Vilmos, Bóta Bálint, Cseresznye Zalán, Csontos Domonkos, Fadgyas Péter, Fekete Patrik, Görcsös Ákos Attila, Hajós Balázs, Halász Henrik, Horváth 204 Lóránt , Hosszu Noel, Hüvös Gergely, Jójárt Emese, Keszthelyi Eszter, Kurucz Kristóf, Laskai Botond, Mészáros Anna Veronika, Molnár Kristóf, Pekk Márton, Perényi Lídia , Petró Péter, Prikler Dorka Abigél, Richlik Márton, Ruzsa Bence Márk, Sarkadi Sándor, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna, Szűcs 418 Botond, Török Hanga, Varga 621 Emese , Varga Dániel 829, Végh Lilian, Waldhauser Miklós. 4 points: 13 students. 3 points: 4 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022