Problem C. 1737. (October 2022)

C. 1737. Dick got two dice for his \(\displaystyle 32^\text{th}\) birthday. He labelled the faces of one die with the numbers \(\displaystyle 1, 2, \ldots, 6\), and the faces of the other one with \(\displaystyle 0, 1, 2, 7, 8, 9\). By using these dice, he can form all integers from 10 up to his age, 32, but the next number, 33, cannot be formed. Octavia uses two regular octahedra instead. Similarly, she wrote a digit on each face of both octahedra, so she can also form all integers from 10 up to her current age (in years), but not the next one. How old is Octavia now?

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először indirekt módon megmutatjuk, hogy \(\displaystyle 10\)-től \(\displaystyle 77\)-ig nem tudunk minden számot kirakni. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle 77\)-ig ki tudunk rakni minden számot, tehát a \(\displaystyle 11\)-et, a \(\displaystyle 22\)-t, a \(\displaystyle 33\)-at, a \(\displaystyle 44\)-et, az \(\displaystyle 55\)-öt, a \(\displaystyle 66\)-ot és a \(\displaystyle 77\)-et is. Ebből következően mindkét oktaéderen szerepelnie kell az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) számjegyek mindegyikének, amelyek a nyolc-nyolc lapból hetet-hetet elfoglalnak. Az üresen maradt egy-egy lapra az eddig nem használt számjegyek, azaz a \(\displaystyle 0\), a \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 9\) közül legfeljebb \(\displaystyle 2\)-t tudunk beírni, így legalább az egyik biztosan nem szerepelne egyik oktaéderen sem, ezért a \(\displaystyle 18\), a \(\displaystyle 19\), és a \(\displaystyle 20\) közül legalább az egyiket nem tudnánk kirakni. Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle 77\)-ig biztosan nem tudunk eljutni.

\(\displaystyle 76\)-ig viszont igen, ehhez az egyik oktaéderre \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 8\)-ig felírunk minden számjegyet. A másikra nyilván kell a \(\displaystyle 0\) és a \(\displaystyle 9\), a maradék \(\displaystyle 6\) üres lapra pedig a folytonosság biztosítása érdekében \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 6\)-ig kerülnek a számok.

Köbüki most \(\displaystyle 76\) éves.

Statistics:

67 students sent a solution.
5 points:	Angyal Fanni Zsófia, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Lupkovics Lilla, Mészáros Anna Veronika, Molnár Kristóf, Nyíri Zsolt, Pekk Márton, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós.
4 points:	Baksa Anna, Bóta Bálint, Cseresznye Zalán, Göncző Emma, Hajós Balázs, Lajos Luca, Laskai Botond, Pál Benedek József , Papp 421 Dániel, Petró Péter, Richlik Márton, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szűcs 418 Botond, Varga 621 Emese , Végh Lilian.
3 points:	12 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	10 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2022