Problem C. 1742. (November 2022)

C. 1742. Consider the following functions (defined on the largest possible subset of the set of real numbers):

\(\displaystyle f_0(x)=\frac{1}{1-x}, \quad\text{and}\quad f_n(x)=f_0\big(f_{n-1}(x)\big), \)

for all positive integers \(\displaystyle n\). Calculate the value of \(\displaystyle f_{2022}(2022)\).

(Canadian problem)

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle f_0(x)\) definíciója miatt \(\displaystyle x \neq1\).
Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{f_1(x)=f_0(f_{1-1}(x))}=f_0(f_0(x))=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{x-1}{x}\), ezért \(\displaystyle x \neq 0\).
Ha \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{f_2(x)=f_0(f_{2-1}(x))}=f_0(f_1(x))=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}= x\).
Ha \(\displaystyle n=3\), akkor \(\displaystyle f_2(x)=x\) miatt \(\displaystyle \displaystyle{f_3(x)=f_0(f_{2}(x))}=f_0(x)\), innentől kezdve pedig ismétlődnek a függvények, hiszen \(\displaystyle f_4(x)=f_0(f_3(x)=f_0(f_0(x))=f_1(x)\). Láthatjuk, hogy az ismétlődés periódusa \(\displaystyle 3\). Mivel a \(\displaystyle 2022\) osztható \(\displaystyle 3\)-mal, ezért \(\displaystyle f_{2022}(x)=f_0(x)\), így \(\displaystyle \displaystyle{f_{2022}(2022)=f_0(2022)=\frac{1}{1-2022}=-\frac{1}{2021}}\).

Statistics:

46 students sent a solution.
5 points:	Angyal Fanni Zsófia, Braun Zsófia, Buris Orsolya, Emődi Marcell, Fekete Patrik, Fiser 234 Boldizsár, Hajós Balázs, Halász Henrik, Hosszu Noel, Jakusch Tamás, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Laskai Botond, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna, Tomesz László Gergő, Varga 241 Ildikó Kata, Varga Dániel 829, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
4 points:	Baksa Anna, Bóta Bálint, Ho Tran Khanh Linh, Kéki Edit, Kun Tamás, Sipeki Márton.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2022