 |
A C. 1770. feladat (2023. május) |
C. 1770. Oldjuk meg a valós számok halmazán a
\(\displaystyle \sqrt{7+\frac{3}{\sqrt{x}}}=7-\frac{9}{x} \)
egyenletet.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle \displaystyle{\frac{3}{\sqrt{x}}}\) kifejezés értelmezése miatt \(\displaystyle x>0\), ugyanakkor teljesülnie kell a \(\displaystyle \displaystyle{7-\frac{9}{x}>0}\) egyenlőtlenségnek is, amelyből \(\displaystyle \displaystyle{x>\frac{9}{7}}\) következik. Ezért az egyenlet megoldását a \(\displaystyle \displaystyle{\Bigg]\frac{9}{7};\infty\Bigg[}\) számhalmazon keressük.
Alkalmazzuk a
\(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{7+\frac{3}{\sqrt{x}}}=a}\)
helyettesítést, a feltételek alapján nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle a>0\). Ebből négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2-\frac{3}{\sqrt{x}}=7}.\) |
Az alkalmazott helyettesítés azt is jelenti, hogy az egyenlet jobb oldalának értéke szintén \(\displaystyle a\)-val egyenlő, azaz \(\displaystyle \displaystyle{7-\frac{9}{x}=a}\).
Mivel
\(\displaystyle \displaystyle{\Bigg(\frac{3}{\sqrt{x}}\Bigg)^2=\frac{9}{x}},\)
ezért a
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{3}{\sqrt{x}}=b}\)
újabb helyettesítéssel:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle a+b^2=7.\) |
Az (1) és (2) összefüggések szerint \(\displaystyle a^2-b=a+b^2\), ahonnan átrendezéssel és szorzattá alakítással kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \Big(a+b\Big)\Big(a-b-1\Big)=0.\) |
A (3) összefüggés bal oldalán szereplő \(\displaystyle a+b\) kifejezés nem lehet 0, hiszen \(\displaystyle a>0\) és az \(\displaystyle x>0\) feltétel miatt nyilván \(\displaystyle b>0\) is igaz. Ezért csak \(\displaystyle a-b-1=0\) lehetséges, amelyből \(\displaystyle a=b+1\) adódik.
A kapott összefüggést (2)-vel összevetve \(\displaystyle b+1+b^2=7\), illetve rendezéssel
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle b^2+b-6=0.\) |
A (4) másodfokú egyenletnek két megoldása van, ezek
\(\displaystyle b_1=2;\qquad b_2=-3.\)
A \(\displaystyle b>0\) feltétel miatt \(\displaystyle b_2\) nem megoldás, tehát csak \(\displaystyle b=2\) lehetséges.
A \(\displaystyle \displaystyle{\frac{3}{\sqrt{x}}=b}\) helyettesítés mindkét oldalának négyzetre emelésével és rendezéssel
\(\displaystyle x=\frac{9}{4}.\)
A kapott valós szám megfelel a feladat minden feltételének és behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása az eredeti egyenletnek, ekkor az egyenlet mindkét oldalának értéke 3.
Statisztika:
88 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Braun Zsófia, Ehrlich Máté, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Iván Máté Domonkos, Járdánházi-Kurutz Vilmos, Mészáros Anna Veronika, Papp Zsófia, Richlik Márton, Sipeki Márton, Szabó Donát, Varga Dániel 829. 4 pontot kapott: Blaskovics Ádám, Csiszár András, Gerencsér László, Gyenes Károly, Holczer Kenéz, Juhos Bálint András, Kerekes András, Keszthelyi Eszter, Kocsmár Ákos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Márfai Dóra, Márkus Dávid, Masa Barnabás, Monoczki Máté, Németh Hanna Júlia , Pázmándi József Áron, Petró Péter, Raffay Gergely, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon Bálint, Somogyi Dóra, Teveli Jakab, Török Eszter Júlia, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai