 |
A C. 1783. feladat (2023. november) |
C. 1783. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) olyan pozitív egész számok, amelyekre az \(\displaystyle \left]\frac{a}{b};\frac{c}{d}\right[\) intervallum tartalmazza a \(\displaystyle 1\)-et. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a+c+1}{b+d+1}<\frac{c}{d}. \)
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek miatt az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}}\) és \(\displaystyle \displaystyle{\frac{c}{d}}\) olyan pozitív racionális számok, amelyekre \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}}<1\) és \(\displaystyle \displaystyle{\frac{c}{d}}>1,\) azaz
\(\displaystyle a<b,\qquad c>d,\)
továbbá \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}<\frac{c}{d}}\) miatt
\(\displaystyle \displaystyle{ad<bc}.\)
Először az
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}<\frac{a+c+1}{b+d+1}}\)
egyenlőtlenséget bizonyítjuk, amelyben a jobb oldalon szereplő tört számlálója és nevezője a feltételek miatt pozitív egész.
A bizonyítandó egyenlőtlenség ekvivalens átalakítását jelenti, ha a pozitív egész nevezőkkel szorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát. Ebből az következik, hogy \(\displaystyle ab+ad+a<ab+bc+b\), illetve
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle ad+a<bc+b.\) |
Az (1) egyenlőtlenség pedig teljesül, hiszen az \(\displaystyle a<b\) és \(\displaystyle ad<bc\) egyenlőtlenségek megfelelő oldalainak összeadásával éppen ezt kapjuk.
Az
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{a+c+1}{b+d+1}<\frac{c}{d}}\)
egyenlőtlenséget szintén ekvivalens módon alakítjuk át, ha a pozitív egész nevezőkkel szorzunk. Ebből előbb az adódik, hogy \(\displaystyle ad+cd+d<bc+cd+c\), ahonnan
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle ad+d<bc+c.\) |
A (2) egyenlőtlenség is teljesül, hiszen a fentiek szerint \(\displaystyle ad<bc\) és \(\displaystyle d<c\). Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
Megjegyzés. Az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a+c+1}{b+d+1}}\) pozitív racionális szám értéke \(\displaystyle 1\) is lehet, ez pontosan akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle a+c=b+d\). Ilyen pozitív egészek léteznek, például az
\(\displaystyle a=2,\qquad c=7,\qquad b=5,\qquad d=4\)
számok, ezekre a feladat többi feltétele is fennáll.
Statisztika:
183 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balogh Péter, Blaskovics Ádám, Blaskovics Bálint, Braun Zsófia, Dancsák Dénes, Gyuricsek Ákos, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Medgyesi Júlia, Mizsei Márton, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 292 Korina, Nelissen Sámuel Zalán, Petró Péter, Rácz Kata, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Viczián Márk, Zádori Gellért. 4 pontot kapott: 82 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 17 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 16 dolgozat.
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai