 |
A C. 1787. feladat (2023. november) |
C. 1787. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben az \(\displaystyle M\) magasságponton keresztül párhuzamost húzunk az \(\displaystyle AB\) oldallal, amely az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalakat a \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle E\) pontban metszi. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének egyik átmérője a \(\displaystyle CC_1\) szakasz. Számítsuk ki a \(\displaystyle DEC_1\) háromszög kerületét, ha \(\displaystyle AB=14\).
(A Kvant nyomán)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel a háromszög hegyesszögű, így az \(\displaystyle M\) magasságpont, és a körülírt kör \(\displaystyle O\) középpontja a háromszög belső pontja.
A feltétel szerint \(\displaystyle CC_1\) a \(\displaystyle k\) körülírt kör átmérője, ezért \(\displaystyle CC_1A\) és \(\displaystyle CC_1B\) derékszögű háromszögek, melyeknek derékszögű csúcsa \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\).
Legyen az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle M\) pontnak az \(\displaystyle AB\) oldal egyenesére vonatkozó tükörképe \(\displaystyle M'\) és messe a \(\displaystyle C_1A\), illetve \(\displaystyle C_1B\) egyenes a \(\displaystyle DE\) egyenest az \(\displaystyle X\), illetve \(\displaystyle Y\) pontban. Tekintsük az alábbi ábrát.
Ismert tétel, hogy a magasságpontnak az oldalakra és az oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak. Ha most az \(\displaystyle M\)-nek az \(\displaystyle F\) pontra vonatkozó tükörképét \(\displaystyle M"\)-vel jelöljük, akkor az \(\displaystyle MM'M"\) háromszög középvonala az \(\displaystyle MT\) szakasz, ahol \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság talppontja.
Az \(\displaystyle FT\) középvonal párhuzamos az \(\displaystyle M'M"\) szakasszal, ezért szükségképpen \(\displaystyle MM'M"\sphericalangle=90^{\circ}\). Ez azonban csak úgy lehetséges, ha az \(\displaystyle M"\) pont azonos \(\displaystyle C_1\)-gyel.
Az \(\displaystyle MC_1\) tehát felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt és \(\displaystyle AB\parallel XY\), ezért könnyen belátható, hogy \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle XC_1\), \(\displaystyle B\) pedig az \(\displaystyle YC_1\) szakasz felezőpontja, vagyis \(\displaystyle AB\) az \(\displaystyle XYC_1\) háromszög középvonala.
Eszerint az \(\displaystyle XDC_1\) háromszögben a \(\displaystyle DA\) magasságvonal felezi az \(\displaystyle XC_1\) alapot, ez csak úgy lehetséges, hogy az \(\displaystyle XDC_1\) háromszög egyenlő szárú, vagyis \(\displaystyle DX=DC_1\).
Hasonlóan egyszerűen láthatjuk be, hogy \(\displaystyle EB\) merőlegesen felezi az \(\displaystyle XC_1\) szakaszt, és ezért az \(\displaystyle YEC_1\) háromszög egyenlő szárú, tehát \(\displaystyle EY=EC_1\).
A kapott eredményeink azt jelentik, hogy a \(\displaystyle DEC_1\) háromszög kerülete: \(\displaystyle K_{DEC_1}=DC_1+EC_1+DE=DX+EY+DE,\) azaz
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle K_{DEC_1}=XY.\) |
Már megállapítottuk, hogy \(\displaystyle AB\) az \(\displaystyle XYC_1\) háromszög középvonala, ezért \(\displaystyle XY=2AB\), így az \(\displaystyle AB=14\) feltétel és (1) alapján
\(\displaystyle K_{DEC_1}=28.\)
Ezzel a megoldást befejeztük.
Megjegyzés. A két tétel, amely szerint a magasságpontnak az oldalakra és oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak, a Geometriai feladatgyűjtemény I. kötetének 1079., illetve 1081. feladata.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Baksa Anna, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Harmincz Sára, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Károlyi József, Márfai Dóra, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Szabó Donát, Török Eszter Júlia, Wodala Gréta Klára. 4 pontot kapott: Alexandrova Angelina, Balogh Péter, Papp Zsófia. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai