A C. 1802. feladat (2024. február)

C. 1802. Az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszögben \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle N\) pedig a \(\displaystyle CE\) átló belső pontja úgy, hogy

\(\displaystyle \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=k. \)

A \(\displaystyle k\) szám milyen értékeire lesznek a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontok kollineárisak?

Matlap, Kolozsvár (2017)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle CE\) szakasz belső pontja, ezért \(\displaystyle k>0\), másrészt pedig \(\displaystyle AM<AC\), illetve \(\displaystyle CN<CE\) miatt \(\displaystyle k<1\), így

Legyen az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög oldala egységnyi, körülírt körének középpontját jelöljük \(\displaystyle O\)-val. Rajzoljuk meg a következő ábrán a \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) egységvektorokat, továbbá a \(\displaystyle \overrightarrow{BE}\), \(\displaystyle \overrightarrow{BM}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BN}\) vektorokat.

A \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) egységvektorokat bázisvektoroknak tekinthetjük, ezért a hatszög síkjában bármely vektor felírható mint \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) lineáris kombinációja.

A hatszög szimmetriatulajdonságai miatt a \(\displaystyle BE\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle O\), ezért egyrészt \(\displaystyle \overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BO}\), másrészt az \(\displaystyle ABCO\) rombuszban \(\displaystyle \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}\), így

A vektorösszeadás tulajdonságai miatt \(\displaystyle \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\), ugyanakkor \(\displaystyle \displaystyle{\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AC}\cdot\Big(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\Big)}\), ezért \(\displaystyle \displaystyle{\overrightarrow{AM}=k\cdot\Big(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\Big)}\), ebből \(\displaystyle \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\) alapján azt kapjuk, hogy

Hasonlóképpen adódik \(\displaystyle \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\) és \(\displaystyle \displaystyle{\overrightarrow{CN}=\frac{CN}{CE}\cdot\Big(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BC}\Big)=k\cdot \Big(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BC}\Big)}\), tehát

\(\displaystyle \overrightarrow{BN}=k\cdot \overrightarrow{BE}+(1-k)\cdot \overrightarrow{BC},\)

és így (2) alapján

A lineáris kombinációk (3) és (4) szerinti előállítása megadja a \(\displaystyle \overrightarrow{BM}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BN}\) vektoroknak a \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) alapvektorokra vonatkozó koordinátáit, ezek

\(\displaystyle \overrightarrow{BM}\Big(1-k;\quad k\Bigg),\)

és

\(\displaystyle \overrightarrow{BN}\Big(2k;\quad1+k\Bigg).\)

A \(\displaystyle B\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontok pontosan akkor lesznek kollineárisak, ha a \(\displaystyle \overrightarrow{BM}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BN}\) vektorok egyirányúak, vagy ellentétes irányúak.
Utóbbi eset a feltételek miatt nem fordulhat elő, mert az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pont is az \(\displaystyle ABC\sphericalangle\) szögtartományban van. Ezért \(\displaystyle \overrightarrow{BM}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BN}\) csak egyirányúak lehetnek. Ez azonban azt jelenti, hogy megfelelő koordinátáik aránya egyenlő, azaz

Az (5) egyenletből a műveletek elvégzése után \(\displaystyle \displaystyle{k^2=\frac{1}{3}}\), ahonnan a \(\displaystyle k\)-ra vonatkozó (1) feltételek miatt

\(\displaystyle \displaystyle{k=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

következik. A feladatban szereplő \(\displaystyle B\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontok tehát pontosan akkor kollineárisak, ha \(\displaystyle \displaystyle{k=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\).

Megjegyzések. 1) A feladat megoldása a (3) és (4) összefüggések után így is folytatható: a \(\displaystyle B, M, N\) pontok akkor és csak akkor kollineárisak, ha van olyan \(\displaystyle \lambda \in R\) szám, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{BN}=\lambda\cdot \overrightarrow{BM}\). Ekkor

\(\displaystyle 2k\cdot \overrightarrow{BA}+(1+k\Big)\cdot\overrightarrow{BC}=\lambda\cdot\Big(\displaystyle{\Big(1-k\Big)\cdot\overrightarrow{BA}+k\cdot \overrightarrow{BC}\Big)}.\)

Innen rendezés után kapjuk, hogy

\(\displaystyle \big(2k-\lambda+\lambda\cdot k\big)\cdot\overrightarrow{BA}+\big(1+k-\lambda\cdot k\big)\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}.\)

Mivel \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) egyike sem nullvektor, a vektorok egyenesei a feltétel miatt metsző egyenesek, ezért a kapott eredmény csak úgy állhat fenn, ha

\(\displaystyle 2k-\lambda+\lambda\cdot k=0,\)

és

\(\displaystyle 1+k-\lambda\cdot k=0.\)

A két egyenlet összeadása és rendezés után \(\displaystyle \lambda=3k+1\), ezt visszahelyettesítve, a műveletek elvégzésével és rendezéssel kapjuk, hogy \(\displaystyle 3k^2=1\), ahonnan a megoldásban látott módon \(\displaystyle \displaystyle{k=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\) következik.

2) A feladat megoldható a komplex számsíkon is. Ehhez érdemes lehet tanulmányozni Reiman István: Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon című szakköri füzetét, illetve Kiss Géza: Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon című cikkét.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Péter, Barna Márton, Bencze Mátyás, Biborka Bernadett, Braun Zsófia, Gyuricsek Ákos, Harmincz Sára, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Papp Zsófia, Petró Péter, Sebők Violetta Írisz, Simon Bálint, Szabó Donát, Török Eszter Júlia, Viczián Márk, Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	Baksa Anna, Csiszár András, Han Xinzhi, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Somogyi Dóra, Wodala Gréta Klára.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai