Problem C. 1821. (September 2024)

C. 1821. Jules and Jim play with a fair die. If the result of the roll is a composite number, Jim gets a point, otherwise Jules gets a point. The game ends when one of the players collected six points. Find the probability that the result will be \(\displaystyle 6:3\) for the winning player.

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szabályos dobókockán szereplő számok közül a \(\displaystyle 4\) és a \(\displaystyle 6\) összetett, így egyszer dobva a kockával \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2}{6}=\frac13}\) valószínűséggel dobunk összetett, míg \(\displaystyle \displaystyle{\frac{4}{6}=\frac23}\) valószínűséggel dobunk nem összetett számot (\(\displaystyle 1\)-et vagy prímszámot). Mielőtt a \(\displaystyle 6:3\)-as végeredmény kialakul, az állás biztosan \(\displaystyle 5:3\) valamelyik játékos javára. Ez azt jelenti, hogy az addig lezajlott \(\displaystyle 8\) dobás eredménye pontosan \(\displaystyle 5\) összetett szám, és \(\displaystyle 3\) nem összetett szám lett, vagy fordítva. Majd a \(\displaystyle 9\). dobás éppen olyan, amelyikből előtte \(\displaystyle 5\) darab már volt. Így a keresett valószínűség:

\(\displaystyle p=\binom{8}{3}\cdot \bigg(\frac13 \bigg)^3 \cdot \bigg(\frac23 \bigg)^5 \cdot \frac23+ \binom{8}{3}\cdot \bigg(\frac23 \bigg)^3 \cdot \bigg( \frac13 \bigg)^5 \cdot \frac13 =\frac{4032}{19683}=\frac{448}{2187} \approx 0,\!2048.\)

Statistics:

68 students sent a solution.
5 points:	Balogh Bendegúz, Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Barna 201 Krisztina, Barna Márton, Bartók Márton, Bartusková Viktória, Bencze Mátyás, Bozsó Bercel, Budai Máté, Földi Albert, Galambos Réka Boglárka, Hodossy-Takács Ráhel, Iván Máté Domonkos, Király Zsuzsanna , Koháry Levente, Kókai Ákos, Krüpl Boglárka, Magura Anna Luca, Masa Barnabás, Molnár Lili, Pánovics Máté, Pink István, Rózsa Zsombor, Tóth 207 Bence, Wodala Gréta Klára.
4 points:	Albert Luca Liliána, Fercsák Flórián, Móricz Zsombor.
3 points:	16 students.
2 points:	2 students.
1 point:	12 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2024