A C. 1825. feladat (2024. október)

C. 1825. Az \(\displaystyle e\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) kört a különböző \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszi. A \(\displaystyle k_2\) kör a \(\displaystyle C\) pontban érinti a \(\displaystyle k_1\) kört és a \(\displaystyle D\) pontban az \(\displaystyle e\) egyenest. A \(\displaystyle CD\) egyenes és a \(\displaystyle k_1\) kör másik metszéspontja \(\displaystyle T\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AT=TB\).

Svájci olimpiai feladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a \(\displaystyle k_1\), illetve \(\displaystyle k_2\) kör középpontját \(\displaystyle O\)-val, illetve \(\displaystyle K\)-val, a \(\displaystyle CD\) egyenest \(\displaystyle f\)-fel és legyen \(\displaystyle KDC\sphericalangle=\alpha\).

Tekintsük az alábbi ábrát.

Az \(\displaystyle e\) egyenes a \(\displaystyle k_2\) kör érintője, ezért \(\displaystyle KD\perp{e}\).

A \(\displaystyle KDC\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle KC=KD\) a \(\displaystyle k_2\) kör sugarai, ebből \(\displaystyle KCD\sphericalangle=\alpha\) következik. Ugyanakkor \(\displaystyle KCD\sphericalangle\) és \(\displaystyle TCO\sphericalangle\) csúcsszögek, ezért egyenlők, így

\(\displaystyle TCO\sphericalangle=\alpha.\)

A \(\displaystyle k_1\) körben \(\displaystyle OC=OT\) sugarak, így az \(\displaystyle OTC\) háromszög egyenlő szárú, ezért

Az (1) összefüggés szerint \(\displaystyle KDC\sphericalangle=CTO\sphericalangle\), így az \(\displaystyle OT\) és \(\displaystyle KD\) az \(\displaystyle f\) egyenessel ugyanakkora szöget zár be, vagyis \(\displaystyle OT\) és \(\displaystyle KD\) párhuzamos egyenesek.

Ebből azonnal adódik, hogy \(\displaystyle OT\perp{e}\), tehát \(\displaystyle OT\) a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle AB\) húrját merőlegesen felezi az \(\displaystyle E\) pontban, másrészt felezi a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle T\) pontot is tartalmazó \(\displaystyle AB\) ívét éspedig éppen a \(\displaystyle T\) pontban.

Az egyenlő hosszúságú ívekhez egyenlő hosszú húrok tartoznak, eszerint valóban teljesül, hogy \(\displaystyle AT=TB\).

Megjegyzések. 1) A feltételek miatt a \(\displaystyle k_2\) kör sem az \(\displaystyle A\), sem a \(\displaystyle B\) pontban nem érintheti az \(\displaystyle e\) egyenest.

2) Bizonyítható, hogy a \(\displaystyle C\) pont helyzetének változtatásával a \(\displaystyle T\) pontnak kétféle helyzete jöhet létre a \(\displaystyle k_1\) körön, ezek az \(\displaystyle e\) egyenesre vonatkozóan egymás tükörképei.

Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Békési Máté, Bense Tamás, Blaskovics Bálint, Bodó Rókus Dániel, Bubálik Nóra, Budai Máté, Farkas András, Fejes-Tóth Fanni, Fülöp Magdaléna, Hajnal Ákos Huba, Halász Tamás, Hetyei Dániel, Hollósi Dominik, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Li Tanran, Lovas Márk, Maróti Olga, Mateas Isabelle, Medgyesi Júlia, Menyhárt Eszter Panna, Mezei Marcell, Molnár-Sáska Tamás, Nagypál Katóca, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Pink István, Szalóki Árpád, Válek Péter.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	36 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	14 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai