A C. 1828. feladat (2024. november)

C. 1828. Anna össze akarta adni a pozitív egész számokat \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 500\)-ig, ám véletlenül kihagyott egy háromjegyű számot. Hány olyan szám van, amelyet kihagyhatott, ha eredményül egy \(\displaystyle 3\)-mal osztható, \(\displaystyle 3\)-ra végződő számot kapott?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 500\)-ig a pozitív egész számok összege

\(\displaystyle S_{500}= \frac{1+500}{2} \cdot 500=125\,250,\)

tehát Anna erre az eredményre jutott volna, ha semmit nem hagyott volna ki. Ez \(\displaystyle 3\)-mal osztható és \(\displaystyle 0\)-ra végződik, ezért Anna olyan háromjegyű számot hagyott ki, amely \(\displaystyle 7\)-re végződik és \(\displaystyle 3\)-mal osztható. Ezek: \(\displaystyle 117\); \(\displaystyle 147\); \(\displaystyle \ldots\); \(\displaystyle 447\); \(\displaystyle 477\). Két szomszédos megfelelő szám különbsége \(\displaystyle 30\), mivel az utolsó jegy rögzített, így összesen \(\displaystyle \frac{477-117}{30}+1=13\) ilyen szám van, mindegyik megfelel a feladat feltételeinek.

Tizenhárom olyan pozitív egész szám van, amelyet Anna kihagyhatott.

Statisztika:

282 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	135 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	60 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	30 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai