A C. 1838. feladat (2025. január)

C. 1838. Egy táblára felírtuk az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2024\), \(\displaystyle 2025\) számokat. Farkas és Piroska felváltva törölnek egy-egy számot a tábláról, amíg csak két szám marad a táblán. Hogyan nyerhet Piroska, ha ő kezd, és akkor nyer, ha a táblán utoljára maradt két szám összege osztható \(\displaystyle 11\)-gyel?

(német versenyfeladat alapján)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy nyerő stragégia első lépése lehet az, hogy a kezdő játékos, azaz Piroska letörli a \(\displaystyle 2025\)-öt, ezután a táblán maradó számok olyan párokba rendezhetők, amelyek összege osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, legyenek ezek az úgynevezett tizenegyespárok. A \(\displaystyle 2024\) tizenegyespárja legyen az \(\displaystyle 1012\), hiszen mindkét szám osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, így az összegük is. Egyébként pedig a \(\displaystyle k\) szám tizenegyespárja a \(\displaystyle 2024-k\), hiszen ezek összege \(\displaystyle k+2024-k=2024\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel. (A \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle 2024-k\) számok minden párnál különböző számok lesznek, mert az \(\displaystyle 1012\) számot már korábban kiválasztottuk.) Amikor Farkas letöröl egy számot, Piroska rögtön utána letörli annak tizenegyespárját, amely ekkor még biztosan a táblán van, hiszen a \(\displaystyle 2025\)-nek nem volt párja, utána pedig mindig párosával kerülnek törlésre a számok. Így a végén megmaradó két szám is egy tizenegyespárt alkot, tehát összegük osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, ami azt jelenti, hogy Piroska nyer.

Statisztika:

177 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	63 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	37 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	22 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári matematika feladatai