Problem C. 1840. (January 2025)
C. 1840. Let \(\displaystyle -20.25<K<0\). Solve the following system of equations for real numbers:
$$\begin{gather*} x+y+z=K,\\ x^3+y^3+z^3=1,\\ xyz=-2024. \end{gather*}$$Proposed by: Erzsébet Berkó, Szolnok
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy a megadott feltételek mellett az egyenletrendszernek nincsenek valós megoldásai. Ehhez a háromtagú összeg köbére és négyzetére vonatkozó ismert azonosságokat fogjuk felhasználni. Az ismert azonosságot alkalmasan átalakítjuk:
\(\displaystyle (x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y+3x^2z+3xy^2+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz=\)
\(\displaystyle = x^3 + y^3 + z^3 +3x^2y+3xyz+3x^2z+3xy^2+3y^2z+3xyz+3xyz+3yz^2+3xz^2-3xyz=\)
\(\displaystyle =x^3 + y^3 + z^3+3x(xy+yz+zx)+3y(xy+yz+zx)+3z(xy+yz+zx)-3xyz=\)
\(\displaystyle =x^3 + y^3 + z^3 + 3((x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz).\)
Ebbe a megadott feltételek alapján behelyettesítve:
\(\displaystyle K^3 = 1 + 3(K(xy + yz + zx) + 2024),\)
amiből
\(\displaystyle xy + yz + zx = \frac{K^3 - 6073}{3K}.\)
Most felhasználjuk a szintén jól ismert \(\displaystyle (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\) azonosságot. Rendezés után
\(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx)\)
adódik, amelybe behelyettesítünk:
\(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = K^2 - \frac{2 \cdot (K^3 - 6073)}{3K}=\frac{K^3 + 12146}{3K}.\)
Az első feltétel alapján \(\displaystyle -20,25 < K < 0,\) amiből \(\displaystyle -8303,\!765625 < K^3 < 0\), így \(\displaystyle K^3+12146\) biztosan pozitív, míg \(\displaystyle 3K<0\), így a kapott tört számlálója minden \(\displaystyle -20,25 < K < 0\) esetén pozitív, a nevezője pedig negatív. Ebből következően a tört értéke negatív, ezért ekkor \(\displaystyle x^2 + y^2 + z^2\) negatív. Ám három valós szám négyzetösszege nem lehet negatív, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.
Statistics:
89 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Bara Boglárka , Barna 201 Krisztina, Bense Tamás, Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Csáti Ambrus, Danka Emma, Farkas Máté, Harangozó Gergő, Holló Barnabás, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Kun Milán, Kun Zsófia, Lovas Márk, Maróti Olga, Máté Kristóf, Máté Zsófia, Mezei Marcell, Mihály Attila, Miszori Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Monoczki Máté, Nagypál Katóca, Nelissen Sámuel Zalán, Németh Ábel, Palásthy Bánk, Pánovics Máté, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Péter Tamás, Pink István, Poczai Dorottya, Rózsa Zsombor, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szmodics Emese Anna, Timár Vince , Tóth Luca, Válek Péter, Yan Zhebeier. 4 points: 7 students. 3 points: 5 students. 2 points: 5 students. 1 point: 7 students. 0 point: 5 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 7 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025