A C. 1842. feladat (2025. január)

C. 1842. Oldjuk meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle 9^x+(6x-23)\cdot 3^x+5x^2-39x+76=0\) egyenletet.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle y = 3^x\) jelölést, és vegyük észre, hogy ekkor a paraméteres egyenletünk \(\displaystyle y\)-ra nézve másodfokú. A másodfokú egyenlet megoldóképletét használva kapjuk, hogy

\(\displaystyle y_{1,\,2}=\frac{-(6x-23)\pm \sqrt{(6x-23)^2-4(5x^2-39x+76)}}{2}= \frac{-6x+23 \pm (4x-15)}{2}. \)

Ebből \(\displaystyle y_1 = -x+4\) és \(\displaystyle y_2 = -5x + 19\), melyek a visszahelyettesítés után rendre a \(\displaystyle 3^x+x=4\), illetve \(\displaystyle 3^x+5x=19\) egyenletekhez vezetnek. Mindkét egyenlet bal oldala szigorúan monoton nő, míg a jobb oldala konstans, így legfeljebb egy-egy megoldás létezhet. Az \(\displaystyle x=1\), illetve \(\displaystyle x=2\) pedig valóban megoldások. Az ekvivalens átalakítások miatt pontosan ezek a megoldások.

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Budai Máté, Fábián Bertalan, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Molnár Lili, Monoczki Máté, Nagy Krisztofer , Pánovics Máté, Rózsa Zsombor, Sebők Violetta Írisz.
4 pontot kapott:	Albert Luca Liliána, Barna 201 Krisztina, Bencze Mátyás, Bernáth Csenge, Farkas András, Farkas Máté, Hetyei Dániel, Kasza-Csótai Ádám, Király Zsuzsanna , Kiss Máté, Kulcsár Anna Zita, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Móricz Zsombor, Palásthy Bánk, Pikó András, Pink István, Sárecz Bence, Száva András.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2025. januári matematika feladatai