Problem C. 1856. (April 2025)

C. 1856. Prove the following inequality for every triangle (using the usual notations for the sides and the angles): \(\displaystyle a\sin\alpha+b\sin\beta+c\sin\gamma\ge\frac{a+b+c}{3}\left(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\right)\). When will the equality hold?

Proposed by: Gábor Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a háromszög területét \(\displaystyle T\). Ekkor tudjuk, hogy

\(\displaystyle T=\frac{ab\sin\gamma}2=\frac{bc\sin\alpha}2=\frac{ca\sin\beta}2.\)

Ebből az egyenlőtlenségben szereplő szögfüggvényekre a következő összefüggések adódnak:

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{2T}{bc};~ \sin\beta=\frac{2T}{ca};~\sin\gamma=\frac{2T}{ab}.\)

Ezt behelyettesítve az egyenlőtlenségbe azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle a \cdot \frac{2T}{bc} +b \cdot \frac{2T}{ca} +c \cdot \frac{2T}{ab} \geq \frac{a+b+c}{3}\left(\frac{2T}{bc}+\frac{2T}{ca}+\frac{2T}{ab}\right).\)

Szorozzuk meg minkét oldalt \(\displaystyle \frac{3abc}{2T}\)-vel! (Mivel a tört számlálójában és nevezőjében is pozitív szám áll, a tört értéke is pozitív, így ez a lépés nem változtatja meg az egyenlőtlenség irányát.)

\(\displaystyle 3a^2+3b^2+3c^2\ge(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca,\)

ezt egy oldalra rendezve az adódik, hogy

\(\displaystyle 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0,\)

\(\displaystyle (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0.\)

Ez három teljes négyzet összege, tehát valóban mindenképp nemnegatív. Mivel csak ekvivalens átalakításokat végeztünk, az eredeti egyenlőtlenség is igaz, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a három teljes négyzet mind \(\displaystyle 0\), vagyis \(\displaystyle a=b=c\), tehát a háromszög szabályos.

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Bán Kincső Panni, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Iván Máté Domonkos, Jakab Dávid, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Móricz Zsombor, Nagy Krisztofer , Pink István, Rózsa Zsombor.
4 points:	Barna 201 Krisztina, Hetyei Dániel, Medgyesi Júlia, Molnár Lili, Pánovics Máté, Sárecz Bence, Zádori Gellért.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2025