A C. 1867. feladat (2025. szeptember)

C. 1867. A zárójelek felbontása és az összevonások után mennyi lesz az \(\displaystyle a^nb^nc^n\) együtthatója az \(\displaystyle (a+b)^n(b+c)^n(c+a)^n\) algebrai kifejezésben, ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész szám? (A választ megadhatjuk legfeljebb \(\displaystyle n\)-tagú összegként.)

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle a^nb^nc^n\) együtthatója az a szám, ahányféleképpen kiválaszthatunk az

\(\displaystyle \underbrace{(a+b)\ldots(a+b)}_n\underbrace{(b+c)\ldots(b+c)}_n\underbrace{(c+a)\ldots(c+a)}_n\)

szorzat szorzótényezői közül \(\displaystyle n\) darabot, amelyekből \(\displaystyle a\)-t, \(\displaystyle n\) darabot, amelyekből \(\displaystyle b\)-t, és \(\displaystyle n\) darabot, amelyekből \(\displaystyle c\)-t választunk majd.

Ha az első \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\) darabban választunk \(\displaystyle a\)-t, akkor az utolsó \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle n-k\) darabban kell. Ekkor az első \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle n-k\) darabban \(\displaystyle b\)-t kell választanunk, az utolsó \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\) darabban pedig \(\displaystyle c\)-t, és így a középső \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\) darabban \(\displaystyle b\)-t és \(\displaystyle n-k\) darabban \(\displaystyle c\)-t.

Ezt éppen \(\displaystyle \binom{n}{k}^3\)-féleképpen tehetjük meg, hiszen az első \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\)-t (amelyekből majd \(\displaystyle a\)-t választunk) \(\displaystyle \binom{n}{k}\)-féleképpen, a középső \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\)-t (amelyekből majd \(\displaystyle b\)-t választunk) \(\displaystyle \binom{n}{k}\)-féleképpen, és végül az utolsó \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\)-t (amelyekből majd \(\displaystyle c\)-t választunk) \(\displaystyle \binom{n}{k}\)-féleképpen választhatunk ki.

Mivel \(\displaystyle k \in \{0, 1, \ldots ,n \}\), így tehát az \(\displaystyle a^nb^nc^n\) együtthatója \(\displaystyle \sum_{k=0} ^n \binom{n}{k}^3\) lesz.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Abonyi Donát Tibor, Albert Luca Liliána, Bán Kincső Panni, Budai Máté, Fülöp Magdaléna, Guirguis Mariam Mourad Fawzy Youssef, Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Kámán-Gausz Péter, Kókai Ákos, Krüpl Boglárka, Kun Petra, Lajkó Lia, Lupkovics Lázár, Máté Kristóf, Mateas Isabelle, Móricz Zsombor, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Poczai Dorottya, Schneider Péter, Serfőző Dávid, Szabó Máté, Szathmáry Zalán, Szedmák Szabrina, Szekeres Anina, Válek Péter, Viczián Adél, Zádori Gellért.
4 pontot kapott:	Gazdag Lóránd, Károly Kamilla , Miskolczi Máté Pál, Ördög Dominik, Szabados Zoltán , Telegdy Márk, Virág Hanna Barbara.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai