 |
A C. 1873. feladat (2025. november) |
C. 1873. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán:
$$\begin{align*} x^2+13x+144&=5y+32z,\\ y^2+13y+144&=5z+32x,\\ z^2+13z+144&=5x+32y. \end{align*}$$Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A három egyenletet összeadva, majd nullára rendezve a következőt kapjuk:
\(\displaystyle x^2-24x+y^2-24y+z^2-24z+3\cdot144=0.\)
Vegyük észre, hogy a bal oldali kifejezés három teljes négyzet összege:
\(\displaystyle (x-12)^2+(y-12)^2+(z-12)^2=0.\)
Ez csak akkor lehet \(\displaystyle 0\), ha külön-külön \(\displaystyle x-12=0\), \(\displaystyle y-12=0\) és \(\displaystyle z-12=0\).
Már csak azt kell ellenőrizni, hogy az így adódó egyetlen lehetséges megoldás, az \(\displaystyle x=y=z=12\) tényleg megoldás-e. Ehhez helyettesítsük be a három egyenletrendszerbe! Mindháromszor ugyanazt kapjuk: \(\displaystyle 12^2+13\cdot12+144=5\cdot12+32\cdot12,\) azaz \(\displaystyle 444=444\), vagyis megoldást kaptunk.
Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása az \(\displaystyle x=y=z=12\).
Statisztika:
A C. 1873. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai