A C. 1876. feladat (2025. november)

C. 1876. Micimackó a következő állítás helyességét próbálja eldönteni. „Ha egy adott év napjaiból kiválasztunk \(\displaystyle 30\)-at, nem biztos, hogy lesz közöttük legalább öt olyan, amelyik a hét ugyanazon napjára esik.” Az alábbiak szerint érvel: „Az állítás hamis. A hét napjait vegyük egy-egy skatulyának, majd tegyünk beléjük egy-egy (ugyanolyan) golyót a kiválasztott napoknak megfelelően. \(\displaystyle 28\)-at még el tudunk helyezni úgy, hogy mindegyik skatulyában \(\displaystyle 4\)-\(\displaystyle 4\) golyó van, azonban a \(\displaystyle 29\). golyó biztosan olyan helyre kerül, ahol már van négy, így biztosan lesz a hétnek legalább egy olyan napja, amelyre legalább öt kiválasztott nap jut.”

Barátja, Róbert Gida rámutat érvelésének hiányos pontjára: „Te Mackó, így csak \(\displaystyle 7\) esetet vizsgáltál meg: azokat, amikor mindegyik skatulyában pontosan \(\displaystyle 4\) darab golyó van, kivéve egyet, amelyben \(\displaystyle 5\). A többi esettel nem foglalkoztál!”

Hány esetet nem vizsgált meg Micimackó?

Németh László (Fonyód) ötlete alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kihagyott esetek számának megállapításához határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet 29 (ugyanolyan) golyót betenni 7 darab (különböző) skatulyába. Mivel a golyók ugyanolyanok, így csak arra kell figyelnünk, hogy melyik skatulyába hány darab golyó kerül. Ekkor az ismétléses kombináció képlete alapján \(\displaystyle \binom{35}{29} = 1\,623\,160\) lehetőség adódik. Micimackó a hiányos indoklásában csak hetet vizsgált meg, így tehát \(\displaystyle 1\,623\,153\) esetben nem bizonyította az állítást.

Statisztika:

A C. 1876. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai