Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 801. feladat (2005. március)

C. 801. Az egyiptomi háromszögbe, amelynek oldalai 3, 4, 5 egység hosszúak, írjunk téglalapot, amelynek a csúcsai a háromszög oldalaira illeszkednek és oldalainak aránya 1:3. Határozzuk meg a téglalap oldalainak hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A téglalapot többféleképpen elhelyezhetjük a háromszögben. Legegyszerűbb eset az, amikor a téglalap oldalai párhuzamosak a háromszög befogóival:

A háromszög csúcsai A, B és C. AC=4, BC=3, AB=5 egység. A téglalap csúcsai C, D, E és F az ábra szerint. Az ABC és AEF derékszögű háromszögek hasonlóságából az első esetben \frac{4-3x}{4}= \frac{x}{3}, és innen 12-9x=4x, x=\frac{12}{13} és 3x=\frac{36}{13}.

A második esetben \frac{4-x}{x}= \frac{3x}{3}; x=\frac{4}{5} és 3x=\frac{12}{5}.

A másik lehetőség ez elhelyezésre, amikor a téglalap egyik oldala merőleges az átfogóra:

A keletkezett derékszögű háromszögek mind hasonlók egymáshoz, mert megfelelő szögeik egyenlők. Az első esetben: \frac{v}{x}= \frac{5}{3}, v=\frac{5}{3}\,x; \frac{4-v}{3x}=\frac{4}{5}, 4-v= \frac{12}{5}\,x; ezért \frac{5}{3}\, x+\frac{12}{5}\, x=4, innen x=\frac{60}{61},
3x=\frac{180}{61}. A második esetben: \frac{v}{3x}= \frac{5}{3}, v=5\,x; \frac{4-v}{4}=\frac{x}{5}, 4-v= \frac{4}{5}\,x; ezért 5\, x+\frac{4}{5}\, x=4, innen x=\frac{20}{29}, 3x=\frac{60}{29}.


Statisztika:

225 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:87 versenyző.
4 pontot kapott:73 versenyző.
3 pontot kapott:29 versenyző.
2 pontot kapott:24 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai