Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 825. feladat (2005. november)

C. 825. Bizonyítsuk be, hogy bármely négy egymást követő egész szám szorzata felírható két egymást követő páros szám szorzataként.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Legyen a négy egymást követő egész szám: a, a+1, a+2, a+3. Ezek szorzata: a(a+1)(a+2)(a+3). Az első és a negyedik tényezőt, valamint a második és a harmadik tényezőt szorozzuk össze, ekkor a következő szorzatot kapjuk: (a2+3a)(a2+3a+2). Mivel a egész szám, ezért mindkét tényező egész szám. Ha a páros szám, akkor 3a és is páros, így az összegük is páros. Ekkor a két tényező (az a2+3a és az a2+3a+2) valóban egymást követő páros szám. Ha a páratlan szám, akkor a2 és 3a is páratlan, így az összegük páros. Ekkor is egymást követő páros szám a két tényező. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.


Statisztika:

499 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:383 versenyző.
4 pontot kapott:19 versenyző.
3 pontot kapott:50 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:25 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai