 |
A C. 825. feladat (2005. november) |
C. 825. Bizonyítsuk be, hogy bármely négy egymást követő egész szám szorzata felírható két egymást követő páros szám szorzataként.
(5 pont)
A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Legyen a négy egymást követő egész szám: a, a+1, a+2, a+3. Ezek szorzata: a(a+1)(a+2)(a+3). Az első és a negyedik tényezőt, valamint a második és a harmadik tényezőt szorozzuk össze, ekkor a következő szorzatot kapjuk: (a2+3a)(a2+3a+2). Mivel a egész szám, ezért mindkét tényező egész szám. Ha a páros szám, akkor 3a és is páros, így az összegük is páros. Ekkor a két tényező (az a2+3a és az a2+3a+2) valóban egymást követő páros szám. Ha a páratlan szám, akkor a2 és 3a is páratlan, így az összegük páros. Ekkor is egymást követő páros szám a két tényező. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Statisztika:
499 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 383 versenyző. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 50 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 25 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai