Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 834. feladat (2005. december)

C. 834. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\sin2x}=\frac{2}{\sin4x}.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás: x nem lehet ${\pi\over4}$ egész számú többszöröse. Felhasználva, hogy sin 2x=2sin xcos x, valamint sin 4x=2sin 2xcos 2x=4sin xcos xcos 2x:

${1\over\sin x}-{1\over2\sin x\cos x}={2\over4\sin x\cos x\cos2x},$

4cos xcos 2x-2cos 2x=2,

4cos x(2cos²x-1)-2(2cos²x-1)=2,

cos x(2cos²x-cos x-1)=0.

Mivel a feltétel miatt cos x $\neq$ 0, ezért csak a szorzat második tényezője lehet 0:

2cos²x-cos x-1=0,

amiből cos x=1 vagy cos x=-1/2. Az első eset nem felel meg a feltételnek, a második esetben $x_1={2\pi\over3}+2k\pi$ , $x_2={-2\pi\over3}+2l\pi$ , ahol k és l egész számok.

Statisztika:

264 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 163 versenyző.

4 pontot kapott: 12 versenyző.

3 pontot kapott: 33 versenyző.

2 pontot kapott: 9 versenyző.

1 pontot kapott: 7 versenyző.

0 pontot kapott: 36 versenyző.

Nem versenyszerű: 4 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai

264 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	163 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	33 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	36 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.