A C. 856. feladat (2006. május)

C. 856. Melyek azok az n természetes számok, amelyekre

5ⁿ+12n²+12n+3

osztható 100-zal?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.

A kifejezés pontosan akkor osztható 100-zal, ha 4-gyel és 25-tel is osztható.

n=0 és n=1 nem megoldás, a továbbiakban csak n>1-re vizsgáljuk a kifejezést.

5ⁿ 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 12n² és 12n osztható 4-gyel, így 5ⁿ+12n²+12n+3 oszható 4-gyel.

5ⁿ+12n²+12n+3=5ⁿ+3(4n²+4n+1)=5ⁿ+3(2n+1)², amiből 5ⁿ osztható 25-tel. 3(2n+1)² akkor osztható 25-tel, ha (2n+1)² osztható 25-tel, vagyis (2n+1) osztható 5-tel. Mivel (2n+1) páratlan szám, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha utolsó jegye 5, azaz 2n+1=10k+5. Innen n=5k+2.

Minden olyan szám, ami 5k+2 alakú (k0, egész) megfelelő.

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	61 versenyző.
4 pontot kapott:	47 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai