Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 922. feladat (2007. december)

C. 922. Adjuk meg az alábbi egyenlet összes egész megoldását: x2+12=y4.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Mindkét oldalból x2-et kivonva kapjuk, hogy:

12=y4-x2=(y2)2-x2.

Mivel két szomszédos négyzetszám közötti különbség egyre nő, ahogy az alapok nőnek, ezért egy idő után a szomszédos négyzetszámok közötti különbség nagyobb lesz, mint 12. Ekkor persze a nem szomszédosok közti különbség szintén nagyobb lesz, mint 12. Írjuk fel a négyzetszámokat addig, amíg a szomszédosok különbsége el nem éri a 12-t:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.

Az elmondottak miatt a megoldás csak ezek között lehet. Itt pedig csak a 4 és a 16 különbsége 12, tehát y4=16, x2=4 és így a megoldások: x1=2, y1=2; x2=2, y2=-2, x3=-2 y3=2 és x4=-2, y4=-2.


Statisztika:

352 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:200 versenyző.
4 pontot kapott:43 versenyző.
3 pontot kapott:43 versenyző.
2 pontot kapott:35 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:12 dolgozat.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai