A C. 923. feladat (2007. december)

C. 923. Egy húrtrapéz párhuzamos oldalai a=10, c=15 hosszúak, köré írható körének sugara r=10. Mekkorák lehetnek a szárai? Mekkora a területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Két ilyen trapéz is van. Az egyik tartalmazza a kör középpontját, a másik nem.

Az adatok alaján $\gamma$ =60^o, hiszen egyenlő oldalú háromszög egyik szöge.

Felírható még, hogy $\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{7,5}{10}=0,75$ , amiből $\alpha$ /2 $\approx$ 48,59^o és $\alpha$ $\approx$ 97,18^o.

Ebből kiszámoljuk $\beta$ -t: $\beta=\frac{97,18^{\circ}-60^{\circ}}{2}=18,59^{\circ}$ .

Ezt felhasználva: $\sin\frac{\beta}{2}=\frac{x/2}{10}=x/20$ miatt $x_1=20\sin\frac{18,59}{2}=3,23$ .

Ekkor $\alpha$ és $\gamma$ ugyannyi, mint az előbb, csak $\beta$ lesz más:

$\beta=\frac{360^{\circ}-97,18^{\circ}-60^{\circ}}{2}\approx101,41^{\circ}.$

Innen $\sin(\beta/2)=\frac{x/2}{10}=x/20$ miatt x₂=20sin (101,41^o/2) $\approx$ 15,48.

A két terület:

$T_1=\frac12\left(10^2\left(\sin18,59^{\circ}+\sin60^{\circ}+\sin18,59^{\circ}-\sin97,18^{\circ}\right)\right)=$

$50\left(0,32+\sqrt3/2+0,32-0,99\right)\approx25,8,$

$T_2=\frac12\left(10^2\left(\sin101,41^{\circ}+\sin60^{\circ}+\sin101,41^{\circ}+\sin97,18^{\circ}\right)\right)=$

$50\left(0,98+\sqrt3/2+0,98+0,99\right)\approx190,8.$

Statisztika:

322 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 128 versenyző.

4 pontot kapott: 49 versenyző.

3 pontot kapott: 89 versenyző.

2 pontot kapott: 30 versenyző.

1 pontot kapott: 15 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai

322 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	128 versenyző.
4 pontot kapott:	49 versenyző.
3 pontot kapott:	89 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?