Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 934. feladat (2008. február)

C. 934. Három rudat (amelyeknek a vastagsága elhanyagolható) páronként merőlegesen rögzítettük egy közös pontban egymáshoz az egyik végüknél. A rudak hossza 1, 2 és 3. Az így kapott építményt úgy raktuk le az asztalra, hogy a rudak szabadon álló végei illeszkednek az asztallap síkjára. Határozzuk meg, hogy pontosan milyen magasan van a rögzítési pont az asztal fölött.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az 1 hosszú rúd szabadon álló végét A, a 2 hosszú rúdét B, a 3 hosszúét C, a közös pontot pedig D.

A szabadon álló pontok távolsága Pitagorasz-tétellel: AB=\sqrt{1+4}=\sqrt5, BC=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}, CA=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.

Az ABC háromszögben a leghosszabb oldallal, vagyis a BC-vel szemközti szög koszinusza a koszinusz tétellel: 13=5+10-2\sqrt5\sqrt{10}\cos\alpha, ahonnan \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{50}}.

Ez pozitív, ezért a háromszög biztosan hegyesszögű.

sin2\alpha+cos2\alpha=1, ezért \sin^2\alpha=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}. Mivel sin \alpha>0, ezért \sin\alpha=\frac{7}{\sqrt{50}}.

Jelölje a keresett távolságot - ami egyben az ABCD tetraéder ABC lapjához tartozó magassága - m.

T_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{\sqrt5\sqrt{10}\frac{7}{\sqrt{50}}}{2}=\frac72.

V_{ABCD}=\frac{T_{ABC}\cdot m}{3}=\frac76m.

Másként számolva a térfogatot: V_{ABCD}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.

Vagyis \frac76m=1, azaz a keresett távolság: m=\frac67.

Statisztika:

227 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:165 versenyző.
4 pontot kapott:30 versenyző.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai