Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 940. feladat (2008. április)

C. 940. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n esetén 24n-1 és 24n+1 közül valamelyik osztható 17-tel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.


Megoldás: 24n=(24)n=16n.

Legyen n páros, ekkor n=2k, és 24n-1=162k-12k=(16+1)(162k-1-162k-2+162k-3-...+16-1)=17.a, ahol a\geq1 és egész, amennyiben k\geq1. Vagyis ha n pozitív páros szám, akkor 17|24n-1.

Legyen n páratlan, ekkor n=2k+1, és 24n+1=162k+1-12k+1=(16+1)(162k-162k-1+162k-2-...-16+1)=17.b, ahol b\geq1 és egész, amennyiben k\geq1. Vagyis ha n pozitív páratlan szám, akkor 17|24n+1.


Statisztika:

172 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:67 versenyző.
4 pontot kapott:76 versenyző.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai