Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 963. feladat (2008. november)

C. 963. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:


\sin^2\, (x+y)-\cos^2\, (x-y)=1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Mivel sin2\alpha\leq1 és cos2\beta\geq0, ezért az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha sin2(x+y)=1 és cos2(x-y)=0.

I. eset: sin (x+y)=1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y=\pi/2+2k\pi, a másodikból x-y=\pi/2+l\pi, ahol k és l egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

x=\frac{\pi}{2}(2k+l+1),

y=\frac{\pi}{2}(2k-l).

II. eset: sin (x+y)=-1 és cos (x-y)=0. Az elsőből x+y=-\pi/2+2m\pi, a másodikból x-y=\pi/2+n\pi, ahol m és n egész számok. Ezek összegét, illetve különbségét 2-vel osztva kapjuk, hogy:

x=\frac{\pi}{2}(2m+n),

y=\frac{\pi}{2}(2m-n-1).


Statisztika:

255 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:87 versenyző.
4 pontot kapott:39 versenyző.
3 pontot kapott:46 versenyző.
2 pontot kapott:30 versenyző.
1 pontot kapott:28 versenyző.
0 pontot kapott:16 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai