Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 989. feladat (2009. április)

C. 989. Egy gömb alakú testből ,,dobókockát'' készítünk hat egyforma gömbszelet levágásával olymódon, hogy a gömbszeletek helyén keletkező körlapok mindegyike érinti négy szomszédját. Hány százaléka a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.


Megoldás.

Messük el az ábrán látható testet egy, az ABFE síkkal párhuzamos és az E1 ponton áthaladó síkkal. Ez a sík átmegy a gömb O középpontján. Használjuk az ábra jelöléseit.

Az OTF1 egyenlő szárú derékszögű háromszögből TF_1=\frac{\sqrt2}{2}r, vagyis a hat körlap együttes területe:

A_1=6\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}r\right)^2\pi.

A hat (levágott) gömbsüveg magassága: m=OM-OT=r-\frac{\sqrt2}{2}r=r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right). Így a hat gömbsüveg együttes felszíne:

A_{6G}=6\cdot2\pi\cdot r\cdot r\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).

Innen a dobókocka felszíne:

A_2=4r¢2\pi-6\cdot2\pi\cdot r^2\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right).

Végül a keresett arány (r2\pi-vel egyszerűsítve):

\frac{A_1}{A_1+A_2}=\frac{6\cdot\frac24}{6\cdot\frac24+4-6\cdot2\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)}=\frac{3}{6\sqrt2-5}\approx0,8608.

Tehát kb. 86%-a a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének.


Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:62 versenyző.
4 pontot kapott:42 versenyző.
3 pontot kapott:15 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai