Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A G. 720. feladat (2020. október)

G. 720. A Tour de France kerékpáros körversenyen a versenyzők vízszintes terepen egyenletesen, 50 km/h sebességgel haladnak. A ,,mezőny'' és a ,,szökevények'' közötti távolság 1 km. Amikor egy enyhe, 5 km hosszú emelkedőhöz érnek, a sebességük nagyon hamar 40 km/h-ra csökken, majd az ugyancsak 5 km hosszú ereszkedőn nagyon hamar 60 km/h-ra nő. Ábrázoljuk, hogyan változik a mezőny és a szökevények közötti távolság az idő függvényében attól az időponttól kezdve, amikor a szökevények elérik az emelkedő alját!

Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Válasszuk az időmérés kezdőpontjának azt az időpontot, amikor a szökevények elérik az emelkedő alját. A mezőny

\(\displaystyle t_1=\frac{1~\rm km}{50~\frac{\rm km}{\rm h}}=\frac{1}{50}~\text{óra}=1{,}2~\text{perc}\)

múlva ér ugyanehhez a ponthoz.

A szökevények

\(\displaystyle t_2=\frac{5~\rm km}{40~\frac{\rm km}{\rm h}}=\frac{1}{8}~\text{óra}=7{,}5~\text{perc}\)

időpontban érnek az emelkedő tetejére, a mezőny 1,2 perccel később, tehát \(\displaystyle t_3=8{,}7\) perckor érnek ugyanoda.

A szökevények

\(\displaystyle t_\text{lefelé}=\frac{5~\rm km}{60~\frac{\rm km}{\rm h}}=\frac{1}{12}~\text{óra}=5~\text{perc}\)

idő alatt gurulnak le a lejtő aljáig, tehát \(\displaystyle t_4=12{,}5~\)perckor érnek oda. Őket 1,2 perccel lemaradva követi a mezőny, tehát ők \(\displaystyle t_5=\)13,7 perckor érnek le. Ettől kezdve a szökevények is és a mezőny is egyenletesen, 5 km/h sebességgel halad.

A szökevények és a mezőny út-idő grafikonját az 1. ábra mutatja. A mezőny grafikonja a szökevényekéből úgy kapható meg, ha azt a \(\displaystyle t\) tengely irányában 1,2 perccel eltoljuk, hiszen a pálya mentén (bárhol) álló néző az előtte elhaladó két csoport között 1,2 perc időkülönbséget észlel.

1. ábra

A két csoport közötti távolság \(\displaystyle t\le 0\) esetén (a feladat szövege szerint) \(\displaystyle \Delta s=1\) km. \(\displaystyle t_1\) idő alatt ez a távolság (az állandó, 10 km/h nagyságú sebességkülönbség miatt) egyenletes ütemben

\(\displaystyle 1000~{\rm m}- 10~\frac{\rm km}{\rm h}\cdot 1{,}2~{\rm min}=800~\rm m\)

értékre csökken.

\(\displaystyle t_1\) és \(\displaystyle t_2\) között a két csoport egyforma sebessége miatt a távolságuk nem változik, mindvégig 800 m marad.

\(\displaystyle t_2\) és \(\displaystyle t_3\) között a relatív sebesség 20 km/h, így a csoportok közötti távolság \(\displaystyle 20~\frac{\rm km}{\rm h}\cdot 1{,}2~{\rm min}=400~\rm m\)-rel nő, vagyis 1200 m-re nő.

\(\displaystyle t_3\) és \(\displaystyle t_4\) között a két csoport egyforma sebessége miatt a távolságuk nem változik, mindvégig 1200 m marad.

\(\displaystyle t_4\) és \(\displaystyle t_5\) között a relatív sebesség \(\displaystyle -10\) km/h, így a csoportok közötti távolság \(\displaystyle 10~\frac{\rm km}{\rm h}\cdot 1{,}2~{\rm min}=200~\rm m\)-rel csökken, vagyis 1000 m lesz, és ez a távolság a továbbiakban már nem változik.

Az időben változó \(\displaystyle \Delta s(t)\) távolságot a 2. ábra mutatja.

2. ábra


Statisztika:

A G. 720. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai