A G. 811. feladat (2023. március)

G. 811. Vízszintes lapon három hasábot állandó \(\displaystyle F\) erővel húzunk az ábrán látható módon. A hasábok mindvégig egy egyenes mentén mozognak, pillanatnyi sebességük \(\displaystyle v_0\). Hogyan függ a hasábokat összekötő fonalakban ébredő fonálerő a hasábok és a lap közötti \(\displaystyle \mu\) csúszási súrlódási együttható értékétől?

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a három hasáb tömege (jobbról balra haladva) \(\displaystyle m_1\), \(\displaystyle m_2\) és \(\displaystyle m_3\), az összekötő fonalakban ébredő fonálerőket pedig jelöljük így: \(\displaystyle K_1\) és \(\displaystyle K_2\). A rendszer gyorsulása:

\(\displaystyle a=\frac{F-\mu(m_1+m_2+m_3)g}{m_1+m_2+m_3}.\)

A harmadik hasáb gyorsulását így is felírhatjuk:

\(\displaystyle a=\frac{K_2-\mu m_3g}{m_3},\)

majd a kétféleképpen felírt gyorsulást egyenlővé téve megkaphatjuk az egyik kérdéses fonálerőt:

\(\displaystyle K_2=\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}F.\)

Vegyük észre, hogy a fonálerő egyáltalán nem függ \(\displaystyle \mu\)-től. Tovább folytatva – az előzőekhez hasonlóan – az első és a második hasáb gyorsulását is felírhatjuk:

\(\displaystyle a=\frac{F-K_1-\mu m_1g}{m_1},\)

illetve

\(\displaystyle a=\frac{K_1-K_2-\mu m_2g}{m_2}.\)

Ezek után akár háromféleképpen is kiszámíthatjuk a még hiányzó fonálerőt, de szerencsére akárhogyan is tesszük, ugyanarra az eredményre jutunk:

\(\displaystyle K_1=\frac{m_2+m_3}{m_1+m_2+m_3}F.\)

Láthatjuk, hogy ez a fonálerő sem függ \(\displaystyle \mu\)-től.

Megjegyzések. Ha már tudja az ember az eredményt, akkor könnyű egyszerűbb magyarázatot adni a kérdésre, hogy miért is nem függ a fonálerő a súrlódástól. Képzeljük el, hogy csak egy hosszú hasábunk van, és ezt húzzuk \(\displaystyle F\) erővel. Képzeletben szeleteljük fel a hosszú hasábot sok kis részre, és a részeket kössük össze fonalakkal. A legelöl lévő darabot \(\displaystyle F\) erővel húzzuk, az utolsót pedig lényegében nulla erővel. A fonalakban ható erők egyenesen arányosak azzal, hogy milyen ,,messze'' vannak a ,,vonat'' végétől, függetlenül attól, hogy mekkora a \(\displaystyle \mu\). (Ha \(\displaystyle m\) tömeg van ,,mögöttünk'', és az egész ,,vonat'' \(\displaystyle M\) tömegű, akkor az aktuális fonálerő: \(\displaystyle K=\tfrac{m}{M}F\).) Ennek oka az, hogy azonos gyorsulás esetén nemcsak az eredő erő arányos a tömeggel (Newton második törvénye szerint), hanem azonos súrlódási együttható esetén a súrlódási erő is arányos a tömeggel.

Észrevehetjük azt is, hogy eredményünk független attól, hogy a hasábok előrefelé gyorsulnak, vagy visszafelé lassulnak, sőt akár egyenletesen is mozoghatnak.

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antal Áron, Bencze Mátyás, Biró Kata, Csapó András, Jávor Botond, Kiss 668 Benedek, Nagy 639 Csenge, Sós Ádám, Sütő Áron, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin, Žigo Boglárka.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai