Problem G. 863. (October 2024)

G. 863. A solid iron ball is floating in mercury. What percentage of its volume is submerged in the mercury? How does this percentage change if water is added on top of the mercury such that it completely covers the iron ball?

(3 pont)

Deadline expired on November 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tételezzük fel, hogy a kérdések szobahőmérsékletre vonatkoznak. Ekkor három értékes jegy pontossággal a vas sűrűsége \(\displaystyle \rho_{\textrm{vas}}=7860\,\mathrm{kg/m^3}\), a higany sűrűsége \(\displaystyle \rho_{\textrm{higany}}=13600\,\mathrm{kg/m^3}\), míg a víz sűrűsége \(\displaystyle \rho_{\textrm{víz}}=998\,\mathrm{kg/m^3}\).

Úszás esetén a testek súlyával a felhajtóerő tart egyensúlyt. Ennek alapján (jól ismert módon) a higanyban úszó vasgolyó bemerülő térfogatarányára ezt írhatjuk fel:

\(\displaystyle \rho_{\textrm{vas}}V_{\textrm{teljes}}g=\rho_{\textrm{higany}}V_{\textrm{bemerülő}}g,\)

amiből

\(\displaystyle \frac{V_{\textrm{bemerülő}}}{V_{\textrm{teljes}}}=\frac{\rho_{\textrm{vas}}}{\rho_{\textrm{higany}}}=0,58,\)

vagyis a vasgolyó térfogatának 58%-a merül a higanyba.

Megjegyzés: Szigorúan véve a levegő felhajtóerejét is figyelembe kellene vennünk, azonban ez 3 nagyságrenddel kisebb járulékot ad, ami annyit jelent, hogy a sűrűségeket tartalmazó tört számlálóját is, nevezőjét is \(\displaystyle 1{,}2\,\mathrm{kg/m^3}\)-rel kell csökkentenünk. Ez viszont nem változtatja meg érdemben a végeredményt.

Ha a higany fölé vizet rétegzünk, ami teljesen ellepi a vasgolyót, akkor kis mértékben módosul az előző számítás, hiszen a víznek is lesz felhajtóereje:

\(\displaystyle \rho_{\textrm{vas}}V_{\mathrm{teljes}}g=\rho_{\textrm{higany}}V_{\textrm{bemerülő}}g+\rho_{\textrm{víz}}(V_{\textrm{teljes}}-V_{\textrm{bemerülő}})g,\)

amiből

\(\displaystyle \frac{V_{\textrm{bemerülő}}}{V_{\textrm{teljes}}}=\frac{\rho_{\textrm{vas}}-\rho_{\textrm{víz}}}{\rho_{\textrm{higany}}-\rho_{\textrm{víz}}}=0,54,\)

vagyis ekkor a vasgolyó kissé kijjebb emelkedik a higanyból, a vasgolyónak csak 54%-a merül a higanyba.

Statistics:

43 students sent a solution.
3 points:	Békési Máté, Blaskovics Bálint, Csáki Anikó, Hegedüs Márk, Horváth Zsombor, József Áron, Kis Dániel, Klenkó Éva Borbála, Kossár Benedek Balázs, Kovács Artúr-Lehel, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Majer Veronika, Molnár Sámuel , Nemes Máté Imre, Németh Ábel, Palik Csenge, Rácz Koppány Bendeguz, Sipos Dániel Sándor, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szighardt Anna, Szilaj Petra, Tóth Domonkos, Vincze Blanka Anna, Vízhányó Janka.
2 points:	Dombóvári Nándor, Hollósi Dominik, Huba Zsombor , Kakas Noel, Medgyesi András, Raschek Vince, Zettler Ákos, Zsuga Medárd.
1 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2024