Problem G. 866. (November 2024)

G. 866. A thin, double-bent tube is made from three long enough pieces. The middle section is horizontal, the first section makes an angle of \(\displaystyle 30^\circ\) with the horizontal, and the third section makes an angle of \(\displaystyle 45^\circ\) with the horizontal. The sections lie in the same vertical plane, with short, smooth bends connecting each section. At the left end of the tube, a tap seals off enough air, such that there is a mercury thread, of length \(\displaystyle L\), at rest in the bottom of the left section of the tube (as shown in the figure). The tap is suddenly opened, causing the mercury thread to move without friction. Initially, the bottom of the mercury thread is at the junction of the first and second tube sections.

What is the maximum fraction of the mercury thread that enters the third section of the tube?

(4 pont)

Deadline expired on December 16, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A higany nem juthat be teljesen a meredekebb csőszakaszba, mert akkor a higany súlypontja magasabbra kerülne a kiindulási helyzetnél. A higanyszál helyzeti energiája a vízszintes szakaszhoz viszonyítva a kezdeti helyzetben \(\displaystyle \tfrac{mgL}{4}\), ahol kihasználtuk, hogy a félszabályos háromszög kisebbik befogója fele az átfogónak, valamint a higanyszál tömegközéppontja a felénél van. A túloldali szélső helyzetben (a veszteségmentesség miatt) ugyanekkora lesz a higanyszál magassági energiája. Jelöljük \(\displaystyle x\)-szel a higanyszál azon részének a hosszúságát, ami bejut a \(\displaystyle 45^\circ\)-os csőszakaszba. Ennek a résznek a tömege \(\displaystyle \tfrac{x}{L}m\), tehát a helyzeti energiája: \(\displaystyle \tfrac{x}{L}mg\tfrac{x}{2\sqrt{2}}.\) A két állapot helyzeti energiáját egyenlővé téve megkapjuk a kérdéses értéket:

\(\displaystyle x=\frac{L}{\sqrt[4]{2}}\approx 0{,}84\,L.\)

Statistics:

36 students sent a solution.
4 points:	Békési Máté, Blaskovics Bálint, Csáki Anikó, Csonka Áron, Hegedüs Márk, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Majer Veronika, Rácz Koppány Bendeguz, Sipeki Andor, Sógor-Jász Soma, Szighardt Anna, Szilaj Petra, Szűcs Kitti, Vincze Blanka Anna.
3 points:	Kossár Benedek Balázs, Molnár Sámuel , Rigó Martin, Szabó András.
1 point:	8 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, November 2024