Problem G. 890. (May 2025)

G. 890. Suppose that there is \(\displaystyle +Q\) charge on the surface of the Earth, and also \(\displaystyle +Q\) charge on the surface of the Moon, in both cases the charges are distributed evenly.

a) Calculate how much charge \(\displaystyle Q\) would be needed so that the electrostatic repulsion balances the gravitational attraction between the Earth and the Moon.

b) Assuming that the distance between the Moon and the Earth is halved, how would the magnitude of the charge \(\displaystyle Q\) balancing gravitational attraction change?

(3 pont)

Deadline expired on June 16, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A Coulomb-erőt kell egyenlővé tenni a gravitációs erővel:

\(\displaystyle k\frac{Q^2}{r^2}=\gamma\frac{mM}{r^2},\)

ahol \(\displaystyle r\) a Föld és a Hold középpontjának a távolsága, \(\displaystyle M=6\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}\) a Föld tömege, \(\displaystyle m\approx\tfrac{M}{80}\) a Hold tömege, \(\displaystyle \gamma\) az egyetemes tömegvonzási állandó (univerzális gravitációs konstans), \(\displaystyle k\) pedig a Coulomb-törvényben szereplő állandó. Az adatok behelyettesítése után megkapjuk a kérdéses töltést: \(\displaystyle Q=5{,}8\cdot 10^{13}\,\mathrm{C}\).

b) Mivel a Coulomb-erő távolságfüggése megegyezik a gravitációs erőével, így a kérdéses töltés nem változna, akárhogy is alakulna a Föld-Hold távolság. Ez már a korábbi, erőegyensúlyt kifejező egyenletből is látszott, hiszen \(\displaystyle r\)-rel tudtunk egyszerűsíteni, nem volt szükség a két égitest távolságára.

Megjegyzés. Ha a Föld felszínét egyenletes eloszlásban ekkora töltés borítaná, akkor a felszín közelében az elektromos térerősség 13 milliárd volt/méter lenne, ami közel négy nagyságrenddel nagyobb, mint az átütési szilárdság a levegőben.

Statistics:

25 students sent a solution.
3 points:	Békési Máté, Csáki Anikó, Csonka Áron, Hegedüs Márk, Horváth Zsombor, Kerekes Zsófia Erzsébet , Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Majer Veronika, Medgyesi András, Molnár Sámuel , Németh Ábel, Rácz Koppány Bendeguz, Sógor-Jász Soma, Szabó András, Szatmári Petra Nina, Szighardt Anna, Tóth Domonkos, Vincze Blanka Anna.
2 points:	Macskássy Márk, Nemes Máté Imre.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, May 2025