Problem K/C. 857. (April 2025)
K/C. 857. For which real numbers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) will inequality \(\displaystyle x^2+y^2\geq(x+1)(y-1)\) hold? For which real numbers will equality hold?
Proposed by: Bálint Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on May 12, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyenlőtlenségből a műveletek elvégzése után
\(\displaystyle x^2+y^2\geq xy-x+y-1,\)
rendezés után \(\displaystyle x^2+y^2-xy+x-y+1\geq 0\) következik. A kapott egyenlőtlenség mindkét oldalát \(\displaystyle 2\)-vel szorozva
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 2x^2+2y^2-2xy+2x-2y+2\geq 0.\) |
Az (1) bal oldalán három teljes négyzet összege áll, mégpedig:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle (x+1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2\geq 0.\) |
Nyilvánvaló, hogy az eredeti egyenlőtlenséggel ekvivalens (2) egyenlőtlenség minden \(\displaystyle x,y\) valós számpárra fennáll, hiszen a bal oldal három nemnegatív valós szám összege.
Egyenlőség pontosan akkor fordulhat elő, ha mindhárom, bal oldalon szereplő zárójelbeli kifejezés értéke \(\displaystyle 0\), azaz ha
\(\displaystyle x=-1;\quad y=1;\quad x=y.\)
Látható azonban, hogy nincsenek olyan \(\displaystyle x,y\) valós számok, amelyekre mindhárom feltétel egyszerre teljesül, ezért az eredeti egyenlőtlenségben az egyenlőség esete nem lehetséges.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2025