A K/C. 878. feladat (2025. november)

K/C. 878. Hány olyan \(\displaystyle 91\)-gyel osztható négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek kétféle számjegye van és mindegyikből két darab?

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{aabb}\) alakú: \(\displaystyle \overline{aabb} = 1100a+11b=11(100a+b)\).

Mivel \(\displaystyle 91=7\cdot13\) és a 11 relatív prím a 7-hez és a 13-hoz, így \(\displaystyle 100a+b\) osztható 91-gyel de ilyen háromjegyű szám nincs. (A 91 többszörösei: 91, 182, 273, 364, 455, 546, 637, 728, 819, 910.)

Ha a négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{abab}\) alakú: \(\displaystyle \overline{abab} =ab\cdot101\).

Mivel a 91 és a 101 relatív prímek, így \(\displaystyle \overline{ab} =91\). A négyjegyű szám tehát lehet 9191.

Ha a négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{aabb}\) alakú: \(\displaystyle \overline{aabb}=1001a+110b=11\cdot(91a+10b)\).

Mivel \(\displaystyle 91=7\cdot13\) és a 11 relatív prím a 7-hez és a 13-hoz, így \(\displaystyle 91a+10b\) osztható 91-gyel.

Mivel \(\displaystyle 91a\) osztható 91-gyel, így \(\displaystyle 10b\) is osztható 91-gyel, ami csak \(\displaystyle b=0\) és \(\displaystyle a=1\), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lehetséges. A négyjegyű szám tehát lehet 1001, 2002, 3003, \(\displaystyle \ldots\), 9009.

Összesen 10 ilyen négyjegyű szám van.

Statisztika:

A K/C. 878. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai